Konvergenz ist einer der zentralen Begriffe der Analysis. In metrischen Räumen haben wir gesehen, dass Konvergenz von Folgen ausreichend ist, um die topologischen Eigenschaften in diesen Räumen zu beschreiben:

  • Offene Mengen und abgeschlossenen Mengen sind duale Begriffe (was in jedem topologischen Raum richtig ist).
  • Die abgeschlossenen Mengen sind dadurch charakterisiert, dass diese ihre Häufungspunkte enthalten (was in jedem topologischen Raum richtig ist).
  • Die Häufungspunkte einer Menge sind genau diejenigen Punkte, die man durch konvergente Folgen aus Elementen dieser Menge erreichen kann.
  •  

Dadurch wird in metrischen Räumen der “statische” Begriff der offenen bzw. abgeschlossenen Menge durch den “dynamischen” Begriff der Konvergenz von Folgen eindeutig beschrieben.

Aber auch in der “elementaren” Analysis begegnen uns immer wieder Konvergenzbegriffe, die komplizierter sind als der für Folgen:

  • Die Ableitung { f ' ( x _{ 0 } ) } einer Funktion an einer Stelle { x _{ 0 } \in {\mathbb R} } ist der Grenzwert einer überabzählbaren Menge von Differenzenquotienten
    \displaystyle  	\frac{ f ( x ) - f ( x _{ 0 } }{ x - x _{ 0 } }, \quad x _{ 0 } \neq x \in {\mathbb R} . \ \ \ \ \ (1) 

     

  • Das Riemann-Integral { \int _{ 0 } ^{ 1 } f ( x ) \mathrm{d} x } einer Funktion { f } ist der Grenzwert von überabzählbar vielen Riemann-Summen
    \displaystyle  	\sum _{ i = 1 } ^{ n } f ( \xi _{ i } ) ( x _{ i + 1 } - x _{ i } ) . \ \ \ \ \ (2) 

     

In dem folgenden Abschnitt werden wir uns deshalb mit dem Konvergenzbegriff in beliebigen topologischen Räumen beschäftigen. Dabei werden wir sehen, dass konvergente Folgen nicht ausreichen, die Topologie zu beschreiben.

1. Folgenkonvergenz

Definition 1. Es sei { X } eine nichtleere Menge.

  1. Unter einer Folge in { X } verstehen wir eine Abbildung { f \colon {\mathbb N} \rightarrow X }. Wir bezeichnen mit { x _{ n } } den Funktionswert von { f } an der Stelle { n \in {\mathbb N} }, d.h { x _{ n } = f ( n ) } für alle { n \in {\mathbb N} }.
  2. Ist { ( X , \mathfrak{T} ) } ein topologischer Raum und { x \in X }, so nennen wir { x } einen Konvergenzpunkt der Folge { ( x _{ n } ) }, geschrieben als { ( x _{ n } ) \rightarrow x }, wenn für alle Umgebungen { U } von { x } die Menge { \{ m \colon x _{ m } \notin U \} } endlich ist (d.h. die Folge { ( x _{ n } ) } ist irgendwann ausschließlich in { U } ).
  3. Der Punkt { x } heißt ein Häufungspunkt der Folge { ( x _{ n } ) }, { ( x _{ n } ) \rtimes x }, wenn für alle Umgebungen { U } von { X } die Menge { \{ m \colon x _{ m } \in U \} } unendlich ist.

Offensichtlich ist jeder Konvergenzpunkt auch Häufungspunkt.

Anmerkung 1. Man beachte, dass man zwischen dem Häufungspunkt einer Folge { ( x _{ n } ) } und dem Häufungspunkt der von dieser Folge erzeugten Menge { A } unterscheiden muss. Stets ist der Häufungspunkt der Folge Berührpunkt der Menge, aber i.A. kein Häufungspunkt dieser.

Beispiel: Ist { x _{ n } : = ( - 1 ) ^{ n } }, so sind { 1 } und { - 1 } Häufungspunkte der Folge { ( x _{ n } ) } aber nur Berührpunkte und keine Häufungspunkte der zu dieser Folge gehörenden Menge { A = \{ 1 , - 1 \} }.

Beispiel 1. Ist { ( x _{ n } ) } konvergent für eine Topologie { \mathfrak{T} } und ist { \mathfrak{S} } eine gröbere Topologie, so bleibt diese Folge konvergent in { \mathfrak{S} }. Auch bleiben Häufungspunkte für die Topologie { \mathfrak{T} } Häufungspunkte für die Topologie { \mathfrak{S} }.

Folgerung: Je gröber eine Topologie ist, um so mehr konvergente Folgen und Häufungspunkte für Folgen existieren.

Beispiel 2. Ist { X } versehen mit der diskreten Topologie und ist { ( x _{ n } ) } eine Folge in { X } mit { ( x _{ n } ) \rightarrow x \in X }, so existiert ein { n _{ 0 } \in {\mathbb N} } mit { x _{ n } = x } für alle { n \geq n _{ 0 } }, d.h. in solchen Räumen werden konvergente Folgen irgendwann konstant.

Ist { X } versehen mit der indiskreten Topologie, so konvergiert jede Folge in { X } gegen jeden Punkt { x \in X }. Insbesondere sind die Grenzwerte konvergenter Folgen nicht mehr eindeutig. Daher heißt diese Topologie auch die chaotische.

Beispiel 3. Ist { ( X , \mathfrak{T} ) } ein topologischer Raum und ist { x \in X }, so konvergiert die Folge { x _{ n } := x \; ( n \in {\mathbb N} ) } gegen { x }.

Ist { ( x _{ n } ) } die Folge mit { x _{ n } := x } für alle { n \geq n_{ 0 } }, so ist { x } Häufungspunkt dieser Folge.

Beispiel 4. Sei { X } versehen mit der co-endlichen Topologie { \mathfrak{T} _{ \mathrm{cofin} } }, d.h. { O \in \mathfrak{P} ( X ) } ist offen, wenn { \complement{O} } endlich ist. Ist { ( x _{ n } ) } eine Folge in { X } mit { x _{ n } \neq x _{ m } } für alle { n \neq m }, so konvergiert diese Folge gegen jedes { x \in X }.

Denn ist { O } eine offene Umgebung eines beliebigen Punktes { x \in X }, so sind die Mengen { \{ k \colon x _{ k } \notin O \} } und { \{ x _{ k } \colon x _{ k } \notin O \} \subseteq \complement{O} } gleichmächtig, also endlich. Daher gilt { ( x _{ n } ) \rightarrow x }.

Diese Eigenschaft charakterisiert bereits die co-endliche Topologie (siehe Aufgabe 4).

Satz 2. Sei { ( X , \mathfrak{T} ) } ein topologischer Raum, sei { x \in X } und { ( x _{ n } ) } eine Folge in { X }.

  1. Ist { x } Konvergenzpunkt der Folge { ( x _{ n } ) }, so ist { x } auch Konvergenzpunkt jeder Teilfolge { ( x _{ n _{ i } } ) } von { ( x _{ n } ) }.
  2. Ist { x } Häufungspunkt der Teilfolge { ( x _{ n _{ i } } ) } von { ( x _{ n } ) }, so ist { x } auch Häufungspunkt der Folge { ( x _{ n } ) }.
  3. Ist { A } die Menge der Folgenglieder, so ist jeder Häufungspunkt der Folge { ( x _{ n } ) } Berührpunkt der Menge { A }.
  4.  

Beweis: Siehe Aufgabe 5 \Box

Mit diesem Satz sind aber die Gemeinsamkeiten von Folgen in beliebigen topologischen Räumen und in metrischen Räumen erschöpft, denn

  1. Folgen können verschieden Konvergenzpunkte haben;
  2. Eine Folge kann einen Häufungspunkt besitzen, ohne dass sie eine gegen diesen Punkt konvergente Teilfolge besitzt;
  3. Ein Punkt kann Berührpunkt einer Menge { A } sein, ohne dass es in { A } eine Folge gibt, die diesen Punkt als Konvergenz- oder Häufungspunkt besitzt.
  4.  

Wir werden zu (2) und (3) in (6) ein Beispiel angeben. Im Gegensatz zu metrischen Räumen beschreiben daher Folgen in topologischen Räumen i.A. nicht die abgeschlossenen Teilmengen und daher nicht die Topologie.

Folgen sind aber nützlich, um zu entscheiden, ob ein Konvergenzbegriff von einer Topologie her rührt. Denn es gilt:

Satz 3. (Urysohn Kriterium) Sei { ( X , \mathfrak{T} ) } ein topologischer Raum, { x \in X } und { ( x _{ n } ) } eine Folge in { X }. Dann sind äquivalent:

  1. Die Folge { ( x _{ n } ) } konvergiert gegen { x }.
  2. Jede Teilfolge von { ( x _{ n } ) } konvergiert gegen { x }.
  3. Jede Teilfolge von { ( x _{ n } ) } hat eine gegen { x } konvergente Teilfolge.
  4.  

Beweis: Siehe Übungsaufgabe 6. \Box

Beispiel 5. (Schreibmaschinenfolge) Sei { f _{ n } } die charakteristische Funktion des abgeschlossenen Intervalls

\displaystyle  	\left[ \frac{ n - 2 ^{ k } }{ 2 ^{ k } } , \frac{ n - 2 ^{ k } + 1 }{ 2 ^{ k } } \right], 	\quad k \geq 0 , \; 2 ^{ k } \leq n < 2 ^{ k + 1 }.

Dann konvergiert diese Folge in der { L ^{ 1 } }-Norm (bezogen auf das Lebesguesche Maß) gegen Null aber nicht punktweise f.ü. (bezogen auf das Lebesguesche Maß), hat aber eine Teilfolge, die punktweise, und damit fast überall, gegen Null konvergiert und erfüllt sogar die Bedingung (3) des Satzes~3.

Nach dem Kriterien des Satzes~3 kann es somit keine Topologie geben, die die “fast überall” Konvergenz erzeugt.

Schränken wir aber die Topologie ein, so gilt:

Satz 4. Sei { ( X , \mathfrak{T} ) } ein topologischer Raum, der dem 1. Abzählbarkeitsaxiom genügt, sei { x \in X } und { A \subseteq X }. Dann sind äquivalent:

  1. Der Punkt { x } ist Berührpunkt der Menge { A }.
  2. Es existiert eine Folge { ( x _{ n } ) } in { A } mit { ( x _{ n } ) \rightarrow x }.
  3. Es existiert eine Folge { ( x _{ n } ) } in { A }, die { x } als Häufungspunkt besitzt.
  4.  

Beispiel 6. Sei { X } die Menge aller Funktionen { f \colon {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R} }. Ist { F \subseteq {\mathbb R} } endlich und { 0 < r \in {\mathbb R} }, so sei

\displaystyle  	U ( f , F , r ) := \{ g \in X \colon | f ( x ) - g ( x ) | < r \quad \text{f\"ur alle } x \in F \} \ \ \ \ \ (3)

und sei

\displaystyle  	\mathfrak{U} ( f ) := \{ U ( f , F , r ) \colon F \subseteq {\mathbb R} \text{ endlich }, r > 0 \}. \ \ \ \ \ (4)

Dann genügt die Menge { \mathfrak{U} ( f ) } für jedes { f \in X } den Bedingungen eines Umgebungsfilters. Denn sicherlich ist { f \in U \in \mathfrak{U} ( f ) }.

Sind { U ( f , F _{ 1 }, r _{ 1 } ) , U ( f , F _{ 2 }, r _{ 2 } ) \in \mathfrak{U} ( f ) }, so ist

\displaystyle  	U ( f , F _{ 1 } \cup F _{ 2 } , \inf ( r _{ 1 }, r _{ 2 } ) ) 		\subseteq U ( f , F _{ 1 }, r _{ 1 } ) \cap U ( f , F _{ 2 }, r _{ 2 } ).

Zu zeigen bleibt, dass es für { g \in U ( f , F , r ) } ein { V \in \mathfrak{U} ( g ) } gibt mit { V \subseteq U ( f , F , r ) }. Sei { F = \{ x _{ 1 } , \ldots , x _{ n } \} }, { q _{ i } = r - | f ( x _{ i } ) - g ( x _{ i } | } für { i = 1 , \ldots , n } und { s = \inf ( q _{ 1 } , \ldots , q _{ n } ) }.

Ist { h \in U ( g , F , s ) }, so ist für alle { 1 \leq i \leq n }

\displaystyle  	| h ( x _{ i } ) - f ( x _{ i } ) | \leq | g ( x _{ i } ) - f ( x _{ i } ) | 			+ | h ( x _{ i } ) - g ( x _{ i } ) | < r , \ \ \ \ \ (5)

d.h. { U ( g , F , s ) \subseteq U ( f , F , r ) }.

Daher existiert eine Topologie { \mathfrak{T} _{ \mathrm{p} } } auf { X }, so dass der Umgebungsfilter in (4) gerade der Umgebungsfilter für jedes { f } bezüglich der Topologie { \mathfrak{T} _{ \mathrm{p} } } ist.

Sei { A \subseteq X } die Menge aller Funktionen { f } mit { f ( x ) \in \{ 0 , 1 \} } und { \{ x \colon f ( x ) = 0 \} } höchstens abzählbar.

Behauptung 1: Die Funktion { g = 0 } ist Element des Abschlusses von { A } in { X }, d.h. { g \in \overline{A} }.

Denn ist { U ( g , F , s ) \in \mathfrak{U} ( g ) } und { h \in X } mit { h ( x ) = 0 } für alle { x \in F } und { h ( x ) = 1 } sonst, so ist { h \in A \cap U ( g , F , s ) }. Somit ist { g } ein Berührpunkt von { A } .

Behauptung 2: Es gibt keine Folge { ( f _{ n } ) } in { A }, die gegen { g } konvergiert.

Angenommen, es gibt eine Folge { ( f _{ n } ) } in { A } mit { ( f _{ n } ) \rightarrow g }. Dann ist die Menge { B _{ n } := \{ x \in {\mathbb R} \colon f _{ n }( x ) = 0 \} } höchstens abzählbar, also auch die Menge { B := \bigcup _{ n } B _{ n } }. Wir finden dann ein { z \in {\mathbb R} \setminus B }. Sei { F = \{ z \} , r = 1 / 2 } und { U = U ( g , F , r ) }. Wegen { z \notin B _{ n } } ist { f _{ n } ( z ) = 1 }, also

\displaystyle  	| f _{ n } ( z ) - g ( z ) | = 1 \quad (n \in {\mathbb N}),

d.h. { f _{ n } \notin U } für alle { n \in {\mathbb N} }. Da aber { U } offene Umgebung von { g } ist und { ( f _{ n }) \rightarrow g }, ist dies ein Widerspruch.

Also kann keine Folge aus { A } gegen { g } konvergieren.

Dieses Beispiel zeigt die Grenzen der Folgenkonvergenz in topologischen Räumen auf. Man beachte aber, dass { ( X , \mathfrak{T} _{ \mathrm{p} } ) } ein Hausdorffscher topologischer Raum ist, der nicht metrisierbar ist.

Ist { ( f _{ n })} eine Folge in { X } mit { ( f _{ n }) \rightarrow f }, so ist dies dann und nur dann der Fall, wenn die Folge { ( f _{ n } ( x ) ) } in { {\mathbb R} } gegen { f ( x ) } für alle { x \in {\mathbb R} } konvergiert. Daher nennt man { \mathfrak{T} _{ \mathrm{p} } } auch die Topologie der punktweisen Konvergenz.

2. Netze

Netze sind die “natürliche” Verallgemeinerung der Folgen und es lassen sich viele Begriffe { 1 : 1 } auf Netze übertragen.

Der Begriff Netz wurde von E.H. Moore und H.L. Smith 1922 eingeführt (siehe hierzu Amer.J.Math (1922) 102 – 121). Der zugehörige Konvergenzbegriff ist unter dem Namen Moore-Smith-Konvergenz bekannt.

Zur Definition benötigen wir den Begriff einer halbgeordneten Menge: Ist { A } eine nichtleere Menge und { \leq } eine Relation auf { A }, die refelexiv und transitiv ist, so nennen wir das Paar { ( A , \leq ) } eine Halbordnung (manchmal wird dieses auch als Präordnung bezeichnet).

Wir nennen eine halbgeordnete Menge { ( A , \leq ) } nach oben gerichtet, wenn zu { \alpha , \beta \in A } ein { \gamma \in A } existiert mit { \alpha \leq \gamma } und { \beta \leq \gamma }.

Beispiel 7. Es sei { X } eine Menge. Eine Teilmenge { \mathfrak{R} } von { \mathfrak{P} ( X ) } nennen wir eine Überdeckung von { X }, wenn { X \subseteq \bigcup \mathfrak{R} }. Sind { \mathfrak{R} } und { \mathfrak{R} ' } Überdeckungen, so nennen wir

\displaystyle  	\mathfrak{R} \leq \mathfrak{R} ' \iff \forall \; R ' \in \mathfrak{R}' \; 	\exists \; R \in \mathfrak{R} \; \colon \; R ' \subseteq R .

Ist nun { \mathfrak{R} } Überdeckung und { A \subseteq X, A \notin \mathfrak{R} } und { \mathfrak{R} ' = \mathfrak{R} \cup A }, so ist { \mathfrak{R} \leq \mathfrak{R} ' } und { \mathfrak{R} ' \leq \mathfrak{R} }, aber { \mathfrak{R} \neq \mathfrak{R} ' }.

Beispiel 8. Ist { ( X , \mathfrak{T} ) } ein topologischer Raum und ist { \mathfrak{U} ( x ) } der Umgebungsfilter eines Punktes { x \in X }, so hat { \mathfrak{U} ( X ) } durch

\displaystyle  	U \leq V \; \iff \; V \subseteq U \quad ( \, U , V \in \mathfrak{U} ( x ) \, )

eine halbgeordnete Menge und ist nach oben gerichtet.

Definition 5. Ist { X } eine Menge und { ( A , \leq ) } eine halbgeordnete und gerichtete Menge, so nennt man eine Abbildung { f \colon A \rightarrow X } ein Netz { ( f , A ) }.

Wir bezeichnen mit { x _{ \alpha } } den Funktionswert von { f } an der Stelle { \alpha \in A }, d.h { x _{ \alpha } = f ( \alpha ) } für alle { \alpha \in A }.

Definition 6. Sei { ( X , \mathfrak{T} ) } ein topologischer Raum, { x \in X } und { ( x _{ \alpha } ) _{ \alpha \in A } } ein Netz in { X }.

  1. Der Punkt { x } heißt ein Konvergenzpunkt des Netzes { ( x _{ \alpha } ) _{ \alpha \in A } }, { ( x _{ \alpha } ) \rightarrow x }, wenn es für alle Umgebungen { U } von { x } ein { \alpha _{ 0 } \in A } gibt mit { x _{ \alpha } \in U } für alle { \alpha \geq \alpha _{ 0 } } (d.h. das Netz { ( x _{ \alpha } ) } ist irgendwann ausschließlich in { U } ).
  2. Der Punkt { x } heißt ein Häufungspunkt des Netzes { ( x _{ \alpha } ) _{ \alpha \in A } }, { ( x _{ \alpha } ) \rtimes x }, wenn für alle Umgebungen { U } von { X } und alle { \alpha \in A } ein { \alpha \leq \beta \in A } gibt mit { \beta \in U \cap A }.
  3.  

Offensichtlich ist jeder Konvergenzpunkt auch Häufungspunkt und für Folgen finden wir die Definition 1 wieder.

Etwas komplizierter wird es mit dem Begriff des Teilnetzes (aber auch bei Folgen ist dieses nicht so einfach). Ist { ( x _{ \alpha } ) _{ \alpha \in A } } ein Netz in { X }, so nennen wir { ( x _{ \beta } ) _{ \alpha \in B } } ein Teilnetz von { ( x _{ \alpha } ) _{ \alpha \in A } }, wenn

  1. Die Menge { B } ist vesehen mit einer Halbordnung und gerichtet.
  2. Es eine Funktion { h \colon B \rightarrow A } gibt mit { y _{ \beta } = x _{ h ( \beta } } für alle { \beta \in B }.
  3. Für alle { \alpha \in A } existiert { \beta _{ 0 } \in B } mit { h ( \beta ) \geq \alpha } für alle { \beta \geq \beta _{ 0 } } (d.h. weit draußen bleibt auch weit draußen).

Aus dieser Definition eines Teilnetzes und Definition 6 ergibt sich unmittelbar: Ist { ( x _{ \alpha } ) _{ \alpha \in A } } ein konvergentes Netz in { X } mit Konvergenzpunkt { x }, so konvergiert auch jedes Teilnetz gegen { x }.

Mit Hilfe von Netzen lassen sich nun abgeschlossene Mengen charakterisieren.

Satz 7. Sei { ( X , \mathfrak{T} ) } ein topologischer Raum und sei { Y \subseteq X }. Dann sind äquivalent:

  1. Der Punkt { x } gehört zum Abschluss { \overline{ Y } } von { X }.
  2. Es gibt ein Netz { ( x _{ \alpha } ) _{ \alpha \in A } } in { Y } mit { ( x _{ \alpha } ) \rightarrow x }.
  3.  

Der Zusammenhang zwischen Häufungspunkt eines Netzes und Existenz von konvergenten Teilnetzen ergibt sich aus dem nächsten Satz. Zuvor noch eine Bezeichnung: Ist { ( x _{ \alpha } ) _{ \alpha \in A } } ein Netz in { X }, so schreiben wir { T _{ \alpha } := \{ x _{ \beta } \colon \beta \geq \alpha \} }.

Satz 8. Sei { ( X , \mathfrak{T} ) } ein topologischer Raum, { x \in X } und { ( x _{ \alpha } ) _{ \alpha \in A } } ein Netz in { X }. Dann sind äquivalent:

  1. Der Punkt { x } ist Häufungspunkt des Netzes { ( x _{ \alpha } ) _{ \alpha \in A } }.
  2. Der Punkt { x } ist für alle { \alpha \in A } Berührpunkt der Mengen { T _{ \alpha} }, d.h. { x \in \bigcap _{ \alpha \in A } \overline{ T _{ \alpha } } }.
  3. Es gibt ein Teilnetz { ( x _{ \beta } ) _{ \beta \in B } } von { ( x _{ \alpha } ) _{ \alpha \in A } } das gegen { x } konvergiert.
  4.  

Für den Beweis der Implikation (1) { \implies } (3) verweise ich auf G. Pedersen, Analysis Now, 1.3.4. Die restlichen Implikationen ergeben sich aus den Definitionen und Satz~7. Alles zusammen ist dann eine Übungsaufgabe.

Anmerkung 2. Es ist manchmal bequem, eine Topologie durch ihre konvergenten Netze zu beschreiben.

Ein Beispiel hierzu: In { X = C ( \left[ 0 , 1 \right] ) } dem Vektorraum der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall { \left[ 0 , 1 \right] }, wollen wir ein Netz { ( f _{ \alpha } ) } in { X } konvergent gegen { g \in X } nennen, wenn { ( f _{ \alpha } ( x ) ) \rightarrow g ( x ) } in { {\mathbb R} } für alle { x \in \left[ 0 , 1 \right] } (punktweise Konvergenz). Frage ist dann, ob es eine Topologie { \mathfrak{T} } auf { X } gibt, so dass diese Konvergenz gerade die Konvergenz bezüglich dieser Topologie ist.

Eine ausführliche Diskussion hierzu findet man in J. Kelly, General Topology, Seite 73 ff. (Convergence Classes), wobei diese Betrachtungsweise auf K. Kuratowski zurückgeht.

3. Filter

Der Nachteil des Begriffs Netz ist es, dass dieser keinen unmittelbaren Bezug zu den mengentheoretischen Definitionen einer Topologie oder einer Umgebung hat.

Eleganter geht es mit dem Begriff des Filters, den H. Cartan 1937 eingeführt hat (siehe hierzu Théorie des filtres; filtres et ultrafiltres, C.R.Acad.Sc. Paris 205 (1937) 595; 777-779). N. Bourbaki hat diesen Begriff in seinem Buch Topologie Génerale übernommen (warum?) und bekannt gemacht. Auch wir haben uns davon leiten lassen (siehe N. Bourbaki, General Topology, Chapter I, §6 und §7.

Zu Henri Cartan und seine Verdienste für die deutsche Nachkriegsmathematik siehe diesen Artikel. Interessant ist auch dieses Interview mit H. Cartan.

Die mathematische Gemeinde spaltete sich in die net-men und filter-fans (Zitat nach G.K. Pedersen). Ich hoffe, dass nach diesem Kapitel jeder den Vorteil von beiden Begriffen sieht und diese dann auch adäquat einsetzen kann.

3.1. Definition und erste Beispiele

Definition 9. Sei { X } eine nichtleere Menge.

  1. Ein Filter ist eine Teilmenge { \mathfrak{F} } der Potenzmenge { \mathfrak{P} ( X ) } mit den Eigenschaften
    1. { \emptyset \notin \mathfrak{F} } und { X \in \mathfrak{F} }.
    2. Ist { F \subseteq B \subseteq X } und { F \in \mathfrak{F} }, so ist auch { B \in \mathfrak{F} }.
    3. Sind { F _{ 1 } , F _{ 2 } \in \mathfrak{F} }, so ist auch { F _{ 1 } \cap F _{ 2 } \in \mathfrak{F} }.
  2. Ein Filterbasis ist eine Teilmenge { \mathfrak{B} } der Potenzmenge { \mathfrak{P} ( X ) } mit den Eigenschaften
    1. { \emptyset \notin \mathfrak{F} } und { \mathfrak{B} \neq \emptyset }.
    2. Sind { B _{ 1 } , B _{ 2 } \in \mathfrak{B} }, so ist auch { B _{ 1 } \cap B _{ 2 } \in \mathfrak{B} }.
    3. Die Menge aller { F \in \mathfrak{P} ( X ) } mit { B \subseteq F } für ein { B \in \mathfrak{B} } ist ein Filter auf { X }.
    4.  

Frage: Warum wurde der Name Filter gewählt? War es eine gute Wahl?

Anmerkung 3. Sind { \mathfrak{B} } und { \mathfrak{B} ' } Filterbasen, so erzeugen diese genau dann den gleichen Filter { \mathfrak{F} } wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. Für alle { B \in \mathfrak{B} } existiert ein { B ' \in \mathfrak{B} ' } mit { B ' \subseteq B }.
  2. Für alle { B ' \in \mathfrak{B} ' } existiert ein { B \in \mathfrak{B} } mit { B \subseteq B ' }.

Hieraus folgt, dass { \mathfrak{B} } genau dann den Filter { \mathfrak{F} } erzeugt, wenn es zu { F \in \mathfrak{F} } ein { B \in \mathfrak{B} } gibt mit { B \subseteq F }.

Der Zusammnenhang zwischen Netzen und Filtern ergibt sich wie folgt.

  1. Ist { ( x _{ \alpha } ) _{ \alpha \in A } } ein Netz und ist { F \in \mathfrak{P} ( X ) }, so sagen wir, dass sich dieses Netz irgendwann ausschließlich in { F } aufhält, wenn es ein { \alpha _{ 0 } \in A } gibt mit { x _{ \alpha } \in F } für alle { \alpha \geq \alpha _{ 0 } } (wir schreiben hierfür { ( x _{ \alpha } ) \vdash F }). Dann ist
    \displaystyle  	\mathfrak{F} _{ A } := \{ F \in \mathfrak{P} ( X ) \colon ( x _{ \alpha } ) \vdash F \} \ \ \ \ \ (6) 

    ein Filter auf { X }. Wir nennen { \mathfrak{F} _{ A } } den vom Netz { ( x _{ \alpha } ) _{ \alpha \in A } } erzeugten Filter.

     

  2. Sei umgekehrt { \mathfrak{F} } ein Filter auf { X }, so sei
    \displaystyle  	A := \{ ( x , F ) \colon F \in \mathfrak{F}, x \in F \}. \ \ \ \ \ (7) 

    Auf { A } definieren wir eine Relation { \geq } durch

    \displaystyle  	( y , G ) \geq ( x , F ) \iff G \subseteq F . \ \ \ \ \ (8)

    Dann ist { ( A , \geq ) } eine Halbordnung und eine gerichtete Menge.

    Sei nun { f \colon A \rightarrow X } gegeben durch { f ( x , F ) = x }. Dann ist { \mathfrak{F} } genau die Menge aller { B \in \mathfrak{P} ( X ) }, für die das Netz { \{ f ( x , F ) \colon ( x, f ) \in A \} } irgendwann ausschließlich in { B } ist.

Beispiel 9. Ist { X } eine Menge, so ist { \mathfrak{F} := \{ X \} } ein Filter.

Beispiel 10. Ist { X } eine Menge und { A \subseteq X }, so ist

\displaystyle  	\mathfrak{F} _{ A } := \{ F \subseteq X \colon A \subseteq F \}

ein Filter auf { X } mit { \bigcap \mathfrak{F} _{ A } = \{ A \} }. Ist { A = \{ x \} } so schreiben wir { \mathfrak{F} _{ x } }.

Filter mit der Eigenschaft { \bigcap \mathfrak{F} \neq \emptyset } heißen fixierte Filter.

Beispiel 11.

  1. Ist { X = {\mathbb N} } und { \mathfrak{F} = \{ F \in \mathfrak{P} ( {\mathbb N} ) \colon \complement{ F } \; \text{endlich} \} }, so ist { \mathfrak{F} } ein Filter auf { {\mathbb N} }, der sogenannte Fréchet-Filter.
  2. Ist für { n \in {\mathbb N}, T _{ n } := \{ m \in {\mathbb N} \colon m \geq n \} }, so ist { \mathfrak{G} := \{ T _{ n } \colon n \in {\mathbb N} \} } ein Filter auf { {\mathbb N} } mit { \mathfrak{G} \subseteq \mathfrak{F} }.
  3. Für eine Folge { ( x _{ n } ) } in { X } nennt man
    \displaystyle  	\mathfrak{F} _{ ( x _{ n } ) } = \{ \, \{ x _{ m } \colon m \geq n \} \colon n \in {\mathbb N} \}  

    den zur Folge gehörenden Elementarfilter.

    Für alle diese Filter gilt { \bigcap \mathfrak{F} = \emptyset }. Filter mit dieser Eigenschaft heißen freie Filter.

3.2. Ordnungsrelation zwischen Filtern

Definition 10. Sind { \mathfrak{F} _{ 1 } } und { \mathfrak{F} _{ 2 } } zwei Filter auf der gleichen Menge { X }, so nennen wir { \mathfrak{F} _{ 1 } } gröber als { \mathfrak{F} _{ 2 } }, { \mathfrak{F} _{ 1 } \preccurlyeq \mathfrak{F} _{ 2 } }, wenn { \mathfrak{F} _{ 1 } \subseteq \mathfrak{F} _{ 2 } }. Man sagt aber auch, dass { \mathfrak{F} _{ 2 } } feiner als { \mathfrak{F} _{ 1 } } ist.

{ \mathfrak{F} _{ 1 } } heißt echt gröber als { \mathfrak{F} _{ 2 } }, wenn { \mathfrak{F} _{ 1 } \neq \mathfrak{F} _{ 2 } }.

Anmerkung 4. (Ordnungsstruktur der Menge der Filter) Wir nennen zwei Filter vergleichbar, wenn einer der beiden feiner ist als der andere. Die Menge aller Filter auf { X } ist durch die Relation “{ \mathfrak{F} _{ 1 } } ist gröber als { \mathfrak{F} _{ 2 } }” eine teilweise geordnete Menge und diese Ordnung ist durch die natürliche Ordnungsrelation auf { \mathfrak{P} ( \mathfrak{P} ( X ) ) } induziert.

Die Ordnung auf der Menge der Filter ist keine Totalordnung, falls es zwei verschiedenen Elemente { x } und { y } in { X } gibt, da die Filter { \mathfrak{F} _{ x } } und { \mathfrak{F} _{ y } } nicht vergleichbar sind.

In der Menge der Filter auf { X } ist der Filter { \{ X \} } das kleinste Element. Das Beispiel der Filter { \mathfrak{F} _{ x } } und { \mathfrak{F} _{ y } } zeigt, dass es kein größtes Element gibt, sobald die Menge { X } mindestens zwei Elemente besitzt.

Anmerkung 5. (Die Menge der Filter als ordnungsvollständiger Verband) Ist { ( \mathfrak{F} _{ j } ) _{ j \in J } } eine nicht leere Familie von Filtern auf einer Menge { X }, so ist

\displaystyle  	\mathfrak{F} = \bigcap _{ j \in J } \mathfrak{F} _{ j } 		= \{ F \subseteq X \colon F \in \mathfrak{F} _{ j } \; \text{ f\"ur alle } \; j \in J \}

ein Filter auf { X } und heißt der Durchschnitt der Filter { \mathfrak{F} _{ j } }. Dies ist offensichtlich die größte untere Schranke der Mengen { \mathfrak{F} _{ j } } in der geordneten Menge der Filter auf { X }.

Etwas schwieriger wird es bei der Bildung der kleinsten oberen Schranke einer Familie von Filtern, da z.B. die beiden Filter { \mathfrak{F} _{ x } } und { \mathfrak{F} _{ y } } für { x \neq y } keine kleinste obere Schranke besitzen. Siehe hierzu Übungsaufgabe~7.

Definition 11. Wir nennen einen Filter { \mathfrak{U} } auf einer Menge { X } einen Ultrafilter, wenn es keinen Filter auf { X } gibt, der echt feiner als { \mathfrak{U} } ist (d.h., { \mathfrak{U} } ist ein maximales Element in der geordneten Menge aller Filter auf { X }).

Satz 12. Sei { \mathfrak{U} } ein Ultrafilter auf { X }. Sind { A } und { B } Teilmengen von { X } mit { X = A \cup B }, so ist entweder { A \in \mathfrak{U} } oder { B \in \mathfrak{U} }.

Korollar 13. Ist { \mathfrak{B} } eine Filterbasis und gilt { A \in \mathfrak{B} } oder { \complement{ A } \in \mathfrak{B} } für alle Teilmengen { A } von { X }, so ist { \mathfrak{B} } bereits ein Ultrafilter

Wichtig ist der folgende Sachverhalt:

Theorem 14. Sei { \mathfrak{F} } ein Filter auf einer Menge { X }. Dann existiert stets mindestens ein Ultrafilter { \mathfrak{U} } auf { X }, der den Filter { \mathfrak{F} } enthält.

Beweis: Dies ist eine Anwendung des Lemmas von Zorn und wird in der Vorlesung besprochen. Aber bitte das Wissen testen und versuchen diesen Satz vorab zu beweisen. \Box

Anmerkung 6.

  1. Ist { x \in X } und { \mathfrak{F} _{ x } } der zu { x } gehörende fixierte Filter, so ist { \mathfrak{F} _{ x } } ein Ultrafilter nach Korollar~13.
  2. Ist { \mathfrak{F} } der Fréchetfilter auf { {\mathbb N} }, so ist dieser kein Ultrafilter. Kann man einen Ultrafilter explizit angeben, der { \mathfrak{F} } enthält?
  3. Abgesehen von Beispiel (1) werden wir nie die Existenz von Ultrafiltern zeigen können (auch nicht auf abzählbaren Mengen), d.h. wir müssen immer das Lemma von Zorn und damit das Auswahlaxiom der Mengenlehre bemühen.
  4. Ist { X } ein topologischer Raum, so ist der Umgebungsfilter eines Punktes i.A. kein Ultrafilter (Beispiel?).
  5. Hat die Menge { X } mindestens zwei Elemente, so existieren mindestens zwei verschiedene Ultrafilter auf { X }. Daher hat die geordnete Menge der Filter auf { X } kein größtes Element.
  6.  

3.3. Konvergenzpunkte und Häufungspunkte von Filtern

Definition 15. Sei { ( X , \mathfrak{T} } ein topologischer Raum, { x \in X } und { \mathfrak{F} } ein Filter auf { X }.

  1. Wir nennen { x } einen Konvergenzpunkt des Filters { \mathfrak{F} } und nennen { \mathfrak{F} } konvergent gegen { x }, wenn der Filter { \mathfrak{F} } feiner als der Umgebungsfilter { \mathfrak{U} ( x ) } ist, d.h. zu jedem { U \in \mathfrak{U} ( x ) } gibt es ein { F \in \mathfrak{F} } mit { F \subseteq U }.Wir schreiben hierfür { \mathfrak{F} \rightarrow x } oder { \lim \mathfrak{F} = x }.
  2. Wir nennen { x } einen Häufungspunkt des Filters { \mathfrak{F} } , wenn für alle { U \in \mathfrak{U} ( x ) } stets { U \cap F \neq \emptyset } für alle { F \in \mathfrak{F} } ist, d.h. { x } ist Berührpunkt für alle { F \in \mathfrak{F} } oder { x \in \bigcap _{ F \in \mathfrak{F} }\overline{ F } }. Wir schreiben hierfür { \mathfrak{F} \, \rtimes \, x }.

Ist { \mathfrak{B} } eine Filterbasis auf { X }, so nennen wir { \mathfrak{B} } konvergent gegen { x }, wenn der von { \mathfrak{B} } erzeugte Filter gegen { x } konvergiert. Der Punkt { x } heißt ein Häufungspunkt der Filterbasis, wenn { x } im topologischen Abschluss jeden Elements von { \mathfrak{B} } enthalten ist.

Beispiel 12. Ist { ( x _{ n } ) } eine Folge und { \mathfrak{F} } der zu dieser Folge gehörende Elementarfilter, so konvergiert die Folge genau dann gegen { x } wenn der Filter { \mathfrak{F} } gegen { x } konvergiert, und { x } ist genau dann ein Häufungspunkt der Folge, wenn { x } Häufungspunkt des Filters { \mathfrak{F} } ist.

Anmerkung 7.

  1. Stets konvergiert der Umgebungsfilter eines Punktes gegen diesen.
  2. Seien { \mathfrak{F} } und { \mathfrak{G} } Filter auf { X }.
    • Ist { \mathfrak{G} } feiner als { \mathfrak{F} }, so folgt aus { \mathfrak{F} \rightarrow x } auch { \mathfrak{G} \rightarrow x }.
    • Ist { \mathfrak{G} } gröber als { \mathfrak{F} } und ist { x } ein Häufungspunkt von { \mathfrak{F} }, so ist { x } auch Häufungspunkt des Filters { \mathfrak{G}}.
    •  

  3. Ist { \mathfrak{S} } eine gröbere Topologie als { \mathfrak{T} } und ist { x } Konvergenzpunkt (Häufungspunkt) des Filters { \mathfrak{F} } für die Topologie { \mathfrak{T} }, so ist { x } auch Konvergenzpunkt (Häufungspunkt) von { \mathfrak{F} } für { \mathfrak{S} }. Merkregel: Je feiner eine Topologie ist, um so weniger konvergente Filter besitzt sie. Speziell sind für die diskrete Topologie die Umgebungsfilter eines Punktes die einzigen Filter, die gegen { x } konvergieren.
  4. Ein Filter { \mathfrak{F} } konvergiert genau dann gegen ein { x \in X }, wenn alle Ultrafilter auf { X }, die feiner sind als { \mathfrak{F} }, gegen { x } konvergieren..
  5. Konvergenzpunkte müssen nicht eindeutig sein.
  6. Alle Aussagen zu Filtern gelten expressis verbis auch für Filterbasen.

Wir können nun alle Eigenschaften einer Topologie auf einer Menge { X } in Beziehung zu den Eigenschaften der Filter auf { X } setzen.

Satz 16. Sei { ( X , \mathfrak{T} ) } ein topologischer Raum und sei { A } eine Teilmenge von { X }.

  1. Die Topologie { \mathfrak{T} } ist genau dann eine hausdorffsche Topologie, wenn jeder konvergente Filter auf { X } genau einen Häufungspunkt hat.
  2. Der Punkt { x } ist genau dann ein Berührpunkt von { A } (d.h. { x \in \overline{ A } }), wenn es einen Filter { \mathfrak{F} } auf { A } gibt, der gegen { x } konvergiert.
  3. Der Punkt { x } ist genau dann ein Häufungspunkt von { A } (d.h. { x \in A ' }), wenn es einen Filter { \mathfrak{F} } auf { A \setminus \{ x \} } gibt, der gegen { x } konvergiert.
  4. Ein Punkt { x } ist genau dann ein Häufungspunkt eines Filters { \mathfrak{F} }, wenn es einen feineren Filter gibt der gegen { x } konvergiert. Inbesondere sind die Häufungspunkte eines Ultrafilters bereits dessen Konvergenzpunkte.
  5.  

Anmerkung 8. Ein Filter auf einem topologischen Raum muss nicht einen Häufungspunkt besitzen (und damit auch keine Konvergenzpunkte). Ein Beipsiel hierfü ist ein diskreter topologischer Raum mit unendlich vielen Punkten (etwa { {\mathbb N} }) und { \mathfrak{F} } der Filter der aus den mengentheoretischen Komplementen von endlichen Teilmengen besteht, d.h. { F \in \mathfrak{F} \iff \complement{F} } ist endlich.

Dann hat dieser Filter keine Häufungspunkte.

Der nachfolgende Satz gibt einen Charakterisierung derjenigen topologischen Räume, in den denen alle Filter Häufungspunkte besitzen.

Satz 17. Sei { ( X , \mathfrak{T} ) } ein topologischer Raum. Dann sind äquivalent:

  1. Jeder Filter auf { X } besitzt einen Häufungspunkt.
  2. Jeder Ultrafilter konvergiert.
  3.  

Topologische Räume, in denen diese äquivalenten Bedingungen erfüllt sind, nennen wir kompakte topologische Räume.

Anmerkung 9. Fordert man, dass jeder Filter konvergent ist, so kann man zeigen, dass dies äquivalent ist zur Bedingung: Es existiert ein { x \in X } mit { \mathfrak{U} ( x ) = \{ X \} } (siehe Übungsaufgabe 8).

4. Anhang: Zum Begriff eines Grenzwertes

Mit der Frage “was ist ein Grenzwert?” hatte sich bereits L. Euler beschäftigt, als er der Folge

\displaystyle  	1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , \ldots

den “Grenzwert” { \frac{1}{2} } zuordnete. Legt man unseren Konvergenzbegriff zugrunde, so ist dies falsch. Wir wollen daher versuchen anzudeuten, wie man dieses dennoch rechtfertigen kann und auch zeigen, wie man Grenzwertbegriffe für beschränkte Folgen findet, die in einer natürlichen Weise den klassischen fortsetzen.

Als erstes wollen wir in Erinnerung rufen, welche Eigenschaften der Limes konvergenter Folgen hat, wobei wir mit { c } die Menge aller konvergenten Folgen reeller Zahlen bezeichnen wollen. Dies ist ein Vektorraum und mittels der Norm

\displaystyle  	c \ni x = ( \xi _{ j } ) \mapsto \| x \| := \sup _{ j } | \xi _{ j } |

sogar ein normierter Vektorraum (und somit ein metrischer Raum).

Sind { x = ( \xi_{j} ) , y = ( \eta_{j} ), e = ( 1 , 1 , \ldots ) \in c } , {\alpha \in {\mathbb C} } und bezeichnet { \lim } den Grenzwert konvergenter Folgen, , so ist

  1. {\lim_{j} ( \xi_{j} + \eta_{j} ) = \lim_{j} \xi_{j} + \lim_{j} \eta_{j}} (Additivität)
  2. {\lim_{j} ( \alpha \xi_{j} ) = \alpha \lim_{j} \xi_{j}} (Homogenität).
  3. {\lim_{j} e = 1 . }
  4. Ist { \{ j \colon \xi_{j} \neq \eta_{j} \}} endlich, so ist {\lim_{j} \xi_{j} = \lim_{j} \eta_{j}} (Wir nennen zwei Folgen mit dieser Eigenschaft fast überall (f.ü.) gleich).
  5. Ist { \xi_{j} \geq 0 } für (fast alle) {j \in {\mathbb N}}, so ist {\lim_{j} \xi_{j} \geq 0} (Positivität).
  6. {\lim_{j} ( \xi_{j} \cdot \eta_{j} ) = ( \lim_{j} \xi_{j} ) \cdot ( \lim_{j} \eta_{j} )} (Multiplikativität).
  7. {\lim_{j} \xi_{j} = \lim_{j} \eta_{j + h}} für alle {h \in {\mathbb N}} (Translationsinvarianz).

Betrachten wir auf { c } die Abbildung

\displaystyle  	\varphi \colon c \ni x = ( \xi_{j} ) \mapsto \lim_{j} \xi_{j} \, ,

so kann man nun obiges etwas griffiger formulieren.

  1. {\varphi ( x + y ) = \varphi ( x ) + \varphi ( y )} und {\varphi ( \alpha x ) = \alpha \varphi ( x )}, d.h. {\varphi} ist ein lineares Funktional auf { c } mit {\varphi ( e ) = 1 . }
  2. Ist { x = y } f.ü., so gilt {\varphi ( x ) = \varphi ( y )}.
  3. Gilt für { ( \xi_{j} ) }, dass { \xi_{j} \geq 0 } für (fast alle) { j \in {\mathbb N} } (wir nennen so ein { x } positiv), so ist { \varphi ( x ) \geq 0 } (d.h. { \varphi } ist ein positives lineares Funktional auf {c}).
  4. { \varphi ( x \cdot y ) =\varphi ( x ) \cdot \varphi ( y ) }, d.h. {\varphi} ist ein multiplikatives Funktional.
  5. Ist { S } die Abbildung { ( \xi_{j} ) \mapsto ( \xi_{j + 1} ) } ({ S } heißt der Shiftoperator), so gilt { \varphi ( S^{k} x ) = \varphi ( x ) } für alle {k \in {\mathbb N} } , d.h. {\varphi} ist “shiftinvariant” .

Wir suchen nun ein lineares Funktional { \textsc{Lim} }, das jeder beschränkten Folge (und eine solche ist die von L. Euler betrachtete) eine reelle Zahl zuordnet und möglichst den obigen Eigenschaften genügt. Zur Vereinfachung bezeichnen wir mit { \ell^{\infty} } den Vektorraum aller beschränkten Folgen versehen mit der Norm { \| x \| := \sup _{ j } | \xi _{ j } |, \, x = ( \xi _{ j } ) \in \ell ^{ \infty } }.

Was würde dies für das Element {x = ( 1, 0 , 1 , 0, 1 \ldots ) \in \ell^{\infty}} bedeuten? Ist {\xi_{0} = \textsc{Lim} ( x )}, so folgt aus (4)

\displaystyle  	\xi_{0}^{2} = \xi_{0}, \quad \text{also} \quad \xi_{0} = 0 \; \text{ oder } \; \xi_{0} = 1 ,

Andererseits folgt aber aus (4) und der Eigenschaft {\varphi ( e ) = 1}

\displaystyle  	\xi_{0} = 1 - \xi_{0} \quad \text{oder} \quad \xi_{0} = \frac{1}{2}.

Da wir die Eindeutigkeit der Konvergenzpunkte haben wollen, müssen wir entweder die Eigenschaft (4) oder die Eigenschaft (4) für den neuen Grenzwertbegriff aufgeben.

4.1. Grenzwertbegriff mit Hilfe von Ultrafiltern

Mit Hilfe eines freien Ultrafilters auf { {\mathbb N} } sind wir in der Lage, einen Grenzwertbegriff für beschränkte Folgen einzuführen, der den Eigenschaften (1) – (4) genügt. Da wir eine Fortsetzung des Grenzwertes haben wollen (d.h. auf { c } soll er mit dem kanonischen übereinstimmen), können wir keine fixierten Ultrafilter betrachten (warum?).

Dazu eine Vorbemerkung: Eine Folge ist nichts anderes als eine Funktion { f } von { {\mathbb N} } nach { {\mathbb R} }. Ist nun { \mathfrak{F} } ein Filter auf { {\mathbb N} }, so ist das Bild von { \mathfrak{F} } unter { f } eine Filterbasis auf { {\mathbb R} } (nachprüfen) und ist { \mathfrak{U} } ein Ultrafilter auf { {\mathbb N} }, so ist { f ( \mathfrak{U} ) } eine Filterbasis für einen Ultrafilter (bitte nachprüfen).

Da wir beschränkte Folgen betrachten, ist die Menge { \{ \xi _{ n } = f ( n ) \colon n \in {\mathbb N} \} \} } eine Filterbasis in dem Intervall { \left[ - \| x \| , \| x \| \right], \, \| x \| = \sup _{ j } | \xi _{ j } | }. Nun weiß man, dass diese Filterbasis einen Häufungspunkt hat (warum?), also konvergiert die Filterbasis { f ( \mathfrak{U} ) } für jeden Ultrafilter { \mathfrak{U} } auf { {\mathbb N} } (nach Satz~17).

Für { x = ( \xi_{j} ) \in \ell^{\infty} } und { \mathfrak{U} } einen freien Ultrafilter auf { {\mathbb N} } definieren wir

\displaystyle  	\mathfrak{U}-\textsc{Lim} ( \xi_{j} ) := \lim_{\mathfrak{U}} \xi_{j}.

Dann genügt das lineare Funktional {\mathfrak{U}-\textsc{Lim}} den Eigenschaften (1) – (4), wobei der Grenzwert vom (freien) Ultrafilter abhängig ist, d.h. wir bekommen, je nach Wahl des Ultrafilters, viele verallgemeinerte Grenzwerte.

Ist { x \in c }, so ist { \mathfrak{U}-\textsc{Lim} ( \xi_{j} ) = \lim \xi_{j} } für alle Ultrafilter { \mathfrak{U} } (warum?).

Aufgabe 1. a) Man führe dies im Detail aus und zeige, dass { \textsc{Lim} } für einen freien Ultrafilter nicht shiftinvariant ist.

b) Sei { x = ( \xi_{j} ) \in \ell^{\infty} } und sei {\mathfrak{U}} ein freier Ultrafilter auf {{\mathbb N}}. Was sind die möglichen {\mathfrak{U}-\textsc{Lim} ( x )} ?

4.2. Shiftinvariante Linearformen

Der Grenzwert längs eines Ultrafilters ist nicht shiftinvariant. Wie bekommen wir nun solche verallgemeinerten Grenzwerte? Dies ist eigentlich in seiner vollen Allgemeinheit ein Thema für eine Vorlesung zur Funktionalanalysis, aber wir wollen zumindestens den ersten Schritt ausführlich machen und den Rest skizzieren (und denn empfehlen, dieses nachzuarbeiten).

Schritt 1: Für { ( \xi _{ j } ) \in \ell ^{ \infty } } setzen wir

\displaystyle  	\eta _{ n } := \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} \xi_{j} \, ( n \in {\mathbb N} ).

Wir erhalten so eine neue Folge { (\eta _{ n } ) \in \ell ^{ \infty } } und bezeichnen das Folgenglied { \eta _{ n } } als das {n-}ten Cesàro-Mittel der Folge { ( \xi_{j} ) }.

Ist { x \in c }, so auch die neue Folge { y = (\eta _{ n } ) } mit { \lim_{ j } \xi _{ j } = \lim _{ n } \eta _{ n } } (siehe etwa H. Heuser, Analysis 1, Satz 27.1.).

Ist { c _{ 1 } } der Teilraum aller Elemente in { \ell ^{ \infty } }, für die { \lim _{ n } \eta _{ n } } existiert, d.h.

\displaystyle  	c _{ 1 } = \{ ( \xi _{ j } ) \in \ell ^{ \infty } \colon (\eta _{ n } ) \in c \}

so ist { c _{ 1 } } echt größer als { c } (die von L. Euler betrachtete Folge liegt darinnen), aber { c _{ 1 } } ist immer noch ungleich { \ell ^{ \infty } } (Beispiel?).

Lemma 18. Die Abbildung

\displaystyle  	C_{1}-\textsc{Lim} \colon c_{1} \ni x 		= ( \xi_{j} ) \mapsto \lim_{n} \bigg( \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} \xi_{j} \bigg)

ist ein lineares Funktional auf {c_{1}}, das den Eigenschaften (1) – (3) und (4) genügt.

Somit haben wir zumindestens auf einem echten Oberraum von { c } einen Grenzwert definiert, der den kanonischen von { c } fortsetzt (auf { c } stimmen ja beide Werte überein).

Schritt 2: Jetzt wird es optional, aber interessant.

Wir betrachten nun auf dem normierten Vektorraum {\ell^{\infty}} die lineare Abbildung { T } die durch die (unendliche) Matrix { ( a _{ ij} )}

\displaystyle  	a_{ij} := 		\begin{cases} 			\frac{1}{i} 	& 1 \leq j \leq i , \; (i , j \in {\mathbb N} )\\ 			0			& \text{ sonst,}	 		\end{cases}

gegeben ist. Wir definieren

\displaystyle  	c _{ 0 } := c , \; c _{k} := \{ x \in c_{k-1} \colon T(x) \in c \} \quad (k \in {\mathbb N})

und auf { c _{ k } } das Funktional

\displaystyle  	C_{k}-\textsc{Lim} \colon c_{k} \ni x 		= ( \xi_{j} ) \mapsto \lim_{n} \bigg( \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} \xi_{j} \bigg).

Dann {c_{k} \varsubsetneq c_{k+1} } und { C_{k}-\textsc{Lim} } ist immer eine Fortsetzung von { C_{ k - 1 }-\textsc{Lim} }.

Aufgabe 2. Man führe alle obigen Schritte im Detail aus und beweise so die im Text gemachten Behauptungen.

Schritt 3: Nun kommt die Funktionalanalysis mit einem ihrer zentralen Sätze ins Spiel.

Wäre

\displaystyle  	\ell^{\infty} = \bigcup_{k} c_{k},

so könnten wir eine lineares Funktional auf {\ell^{\infty}} definieren, das die Eigenschaften (1) – (3) und (4) erfüllt und hätten so elegant einen verallgemeinerten Grenzwertbegriff für beschränkte Folgen eingeführt (und könnten diese auch berechnen).

Aber es ist {\ell^{\infty} \neq \bigcup_{k} c_{k}} (warum?, dies geht zum jetzigen Zeitpunkt an alle, die bereits einmal Funktionalanalysis gehört haben) und dieser Ansatz muss scheitern.

Aufgabe 3. Man finde ein { x \in \ell ^{ \infty } \, \setminus \, \bigcup_{k} c_{k} }.

Der Satz von Hahn-Banach aus der Funktionalanalysis gibt uns aber ein Hilfsmittel in die Hand, um unser Anliegen erfolgreich abzuschließen.

Satz 19. Es existiert ein lineares Funktional {\; \textsc{Lim} : \ell^{\infty} \rightarrow {\mathbb C}} mit

  1. { \| \textsc{Lim} \| = 1 . }
  2. Für alle {x = ( \xi_{j} )\in c} gilt { \textsc{Lim} ( x ) = \lim_{j} \xi_{j}.}
  3. Für {x = ( \xi_{j} )\in \ell^{\infty}} mit { 0 \leq \xi_{j} } für alle {j \in {\mathbb N}} gilt { \textsc{Lim} ( x ) \geq 0.}
  4. { \textsc{Lim} } ist Shiftinvariant, d.h. { \textsc{Lim} ( S^{k} x ) = \textsc{Lim} (x) } für alle {k \in {\mathbb N}} und {x \in \ell^{\infty}}.
  5. {\liminf_{j} \xi_{j} \leq \textsc{Lim} ( x ) \leq \limsup_{j} \xi_{j}} für alle {x = ( \xi_{j} )\in \ell^{\infty}}.

Beweis: Für {x = ( \xi_{j} ) \in \ell^{\infty} } sei

\displaystyle  	p(x) := \limsup_{j} \frac{1}{n} \big( \xi_{1} + \ldots + \xi_{n} \big).

Dann ist {p} eine Halbnorm auf {\ell^{\infty}}. Ist {c_{1}} und {c-\textsc{Lim}} wie oben, so gilt sicherlich

\displaystyle  	 C-\textsc{Lim} ( x ) \leq p ( x )

für alle {x \in c_{1}} und

\displaystyle  	\|C-\textsc{Lim} \|_{c_{1}} = 1 .

Nach dem Satz von Hahn-Banach können wir {C-\textsc{Lim}} normerhaltend zu einer Linearform auf {\ell^{\infty}} fortsetzen, die wir mit {\textsc{Lim}} bezeichnen. Damit wären die Eigenschaften (1) und (2) bewiesen.

(3) Sei nun {x = ( \xi_{j} )\in \ell^{\infty}} mit { 0 \leq \xi_{j} } für alle {j \in {\mathbb N}}, aber {\textsc{Lim} ( x ) < 0}. Ersetzen wir {x} durch { x / \| x \|_{\infty} }, können wir {0 \leq \xi_{j} \leq 1 } annehmen, d.h. { \| e - x \|_{\infty} \leq 1} ({e} der Einheitsvektor in {\ell^{\infty}}). Es ist aber { \textsc{Lim} ( e - x ) = 1 - \textsc{Lim} ( x ) > 1}, woraus { \| \textsc{Lim} \| > 1 } folgt, ein Widerspruch zur Eigenschaft (1).

(4) Für {x = ( \xi_{j} ) \in \ell^{\infty} } und {k \in {\mathbb N}} ist

\displaystyle  	\frac{1}{k} \sum_{j = 2}^{k + 1 } \xi_{j} - \frac{1}{k} \sum_{j = 1}^{k} \xi_{j} = 		\frac{1}{k} ( \xi_{1} - \xi_{k+1}) ,

d.h. { S ( x ) - x \in c_{0} \subseteq c_{1} }. Also

\displaystyle  	\textsc{Lim} ( S ( x ) - x ) = C-\textsc{Lim} ( S ( x ) - x ) = 0 .

Mittels vollständiger Induktion folgt { \textsc{Lim} ( S^{k} ( x ) - x ) = 0 } und somit die Behauptung.

(5) folgt aus H. Heuser, Analysis 1, Satz 28.6. und der Tatsache, dass für Linearformen { f } aus { f ( x ) \leq p ( x ) } für alle { x } stets { - p ( - x ) \leq f ( x ) } folgt (dies folgt aus dem Beweisanfang des Satzes von Hahn-Banach). \Box

Anmerkung 10. Sei {x = ( \xi_{j} ) \in \ell^{\infty} }, so sind die Konvergenzpunkte unter dem zweiten Limesbegriff stets in der konvexen Hülle der Häufungspunkte der Folge { x } enthalten, während die Konvergenzpunkte für den Ansatz mit den Ultrafiltern immer die Häufungspunkte der Folge sind.

Anmerkung 11.

  • Die Folgen {x = (0, 1 , 0 , 1, 0 \ldots ) } und { y = ( 1 , 0 , 1 , 0 , 1 \ldots ) } zeigen, dass im Allgemeinen {\textsc{Lim} ( x \cdot y ) \neq \textsc{Lim} (x) \cdot \textsc{Lim} (y) } ist.
  • Die in Satz (19) konstruierte Linearform nennen man einen Banach-Limes. Dieser ist nicht eindeutig! Man kann sogar zeigen, dass die Menge aller Banach-Limites die Mächtigkeit {2^{2^{\aleph_{0}}}} hat, wobei {\aleph_{0} = | {\mathbb N} | } die Mächtigkeit von {{\mathbb N}} bezeichnet.

Schlussbemerkung: In diesem Abschnitt haben wir wir uns von dem Blog von Terence Tao und Chapitre II, §3 in dem Buch von Stefan Banach, Théorie des Operations Linéaires (1932) unter Nutzung von H. Heuser Analysis 1, §36, Aufgabe 4 leiten lassen.

Wenn man noch die Theorie der Menge { \beta ( {\mathbb N} ) } der Ultrafilter auf { {\mathbb N} } mit einbezieht, so ist dieses ein sehr gutes Grundgerüst für eine wunderschöne Staatsexamensarbeit.

Zur Person von Terence Tao verweise ich auf YouTube, etwa T. Tao oder Wikipedia und seinen wunderbaren Blog.

5. Aufgaben

Aufgabe 4.

  1. Die triviale Topologie auf { X } ist die einzige Topologie auf { X } mit der Eigenschaft, dass jede Folge gegen jeden Punkt von { X } konvergiert.
  2. Die cofinale Topologie auf { X } ist die feinste Topologie, so dass jede Folge paarweiser verschiedener Punkte gegen jeden Punkt von { X } konvergiert.

Aufgabe 5. Sei { ( X , \mathfrak{T} ) } ein topologischer Raum, sei { x \in X } und { ( x _{ n } ) } eine Folge in { X }.

  1. Ist { x } Konvergenzpunkt der Folge { ( x _{ n } ) }, so ist { x } auch Konvergenzpunkt jeder Teilfolge { ( x _{ n _{ i } } ) } von { ( x _{ n } ) }.
  2. Ist { x } Häufungspunkt der Teilfolge { ( x _{ n _{ i } } ) } von { ( x _{ n } ) }, so ist { x } auch Häufungspunkt der Folge { ( x _{ n } ) }.
  3. Ist { A } die Menge der Folgenglieder, so ist jeder Häufungspunkt der Folge { ( x _{ n } ) } Berührpunkt der Menge { A }.
  4.  

Zur Erinnerung: Ist { f \colon {\mathbb N} \rightarrow X } eine Folge, so heißt { h } Teilfolge von { f }, falls eine Abbildung { g \colon ( {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N} ) \colon k \mapsto n _{ k } } existiert mit { g } injektiv und echt monoton wachsend, so dass { h ( i ) = f ( g ( i ) ) } für alle { i \in {\mathbb N} }.

Aufgabe 6. (Urysohn Kriterium) Sei { ( X , \mathfrak{T} ) } ein topologischer Raum, { x \in X } und { ( x _{ n } ) } eine Folge in { X }. Dann sind äquivalent:

  1. Die Folge { ( x _{ n } ) } konvergiert gegen { x }.
  2. Jede Teilfolge von { ( x _{ n } ) } konvergiert gegen { x }.
  3. Jede Teilfolge von { ( x _{ n } ) } hat eine gegen { x } konvergente Teilfolge.
  4.  

Aufgabe 7. Eine Familie { \Phi } von Filtern auf einer nicht-leeren Mange { X } besitzt genau dann eine kleinste obere Schranke in der Menge aller Filter auf { X }, wenn für alle endlichen Folgen { ( \mathfrak{F} _{ k } ) _{ 1 \leq k \leq n } } von Elementen von { \Phi } und alle { A _{ k } \in \mathfrak{F} _{ k } \; ( 1 \leq k \leq n ) } der Durchschnitt { A _{ 1 } \cap \ldots \cap A _{ n } } nicht-leer ist.

Aufgabe 8. Man zeige, dass auf einem topologischen Raum { ( X , \mathfrak{T} ) } die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Jeder Filter auf { X } ist konvergent.
  2. Es existiert ein { x \in X } mit { \mathfrak{U} ( x ) = \{ X \} }.
  3.