1. Eine Kleine Einleitung

Nach N. Bourbaki ist die Topologie einer der Eckpfeiler der Mathematik. Ihre Leistungsfähigkeit tritt bei ihrer Anwendung in der Analysis, der Geometrie oder der Algebra zu Tage. Ziel der Vorlesung ist es, die Grundbegriffe dieser Theorie vorzustellen und an Hand von ausgewählten Beispielen diese Leistungsfähigkeit aufzuzeigen.

Entwickelt hat sich die Topologie aus einfachen Fragestellungen der Geometrie und der Analysis. Es war L. Euler, der in seinem Königsberger Brückenproblem 1736 den ersten Anstoß dazu gab. Wir kommen auf dieses Problem im Laufe der Vorlesung zurück. Es entwickelten sich danach zwei Arten von Topologie.

Die eine Richtung beschäftigt sich mit der Struktur stetig formbarer Objekte „im Großen“ und verwendet im wesentliche endliche, algebraische oder differenzierbare Techniken. Einen Überblick hierzu findet man in J. Dieudonné, Geschichte der Mathematik 1700 – 1900, Kapitel 10 und in T. Gowers, The Princeton Companion to Mathematics, Kapitel IV.6 und IV.7. Diese Algebraische Topologie ist nicht Gegenstand der Vorlesung.

Die andere Richtung beschäftigt sich mit den Eigenschaften solcher Strukturen in der Nähe eines Punktes und ihre Methoden sind der Analysis angelehnt. Der fundamentale Beitrag hierzu ist das Buch von F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre von 1914, in dem der noch heute gültige Rahmen der „Allgemeinen Topologie“ niedergeschrieben ist.

Die historischen Details hierzu findet man in N. Bourbaki, Topology, Chapter I: Historical Note oder in T. Gowers, The Princeton Companion to Mathematics, Kapitel III.90. Diese Allgemeine Topologie werden wir in der Vorlesung besprechen und an Hand von ausgewählten Beispielen deren Leistungsfähigkeit darstellen.

Etwas zur Literatur: Es gibt eine große Anzahl von Büchern zur Topologie. Als Begleittext zur Vorlesung empfehle ich

  • V. Runde, A Taste of Topology (Springer Verlag).

Wer es etwas breiter haben will, d.h. auch die Grundbegriffe der Algebraischen Topologie lernen will, dem empfehle ich

  • J. Dugundji, Topology (Allyn and Bacon).

Für Teilaspekte der Topologie, die man in dem Buch von Runde nicht findet, nutze ich

  • N. Bourbaki, Topology (Springer Verlag).

Sicherlich macht es auch Sinn, die Bücher von Kelley, von Querenburg, Massey oder von Hilbert und Cohn-Vossen in die Hand zu nehmen. Diese findet man in der Bibliothek des Instituts.

2. Königsberger Brückenproblem (L. Euler, 1736)

Königsberg bestand zur Zeit von Euler aus vier Stadtteilen, die wir mit A, B, C, D bezeichnen und die durch den Fluss „Pregel“ getrennt waren: Der nördliche Teil A, der südliche Teil D und die zwei Inseln B, C. Die Insel B war durch zwei Brücken mit A, mit zwei Brücken mit D und einer Brücke mit C, die Insel C war mit jeweils einer Brücke mit A und D verbunden (Bild !).

Frage (Euler): Gibt es einen Weg für die Königsberger Bürger, so dass diese jede Brücke genau einmal passieren können, wenn sie nach Hause wollen?

ÜA: Man informiere sich, wie Euler dieses Problem gelöst hat. Hinweis: R. Courant, H. Robbins: Was ist Mathematik? hilft hier weiter.

Mit dem Paket skmath (siehe http://www.ctan.org/pkg/skmath) erspart man sich die eigene Definition von Abkürzungen wie etwa für die Norm, dem Absolutbetrag etc. Die Nutzung des Paketes in LaTeX kann man nur empfehlen. 

Wer sich intensiver mit (La)TeX beschäftigen will, dem empfehle ich die beiden Blogs http://texandfriends.wordpress.com und  http://www.matthiaspospiech.de/startseite . Dort findet man vieles Wissenswertes und Anregungen für die Erstellung von ansprechenden Veröffentlichungen mit (La)TeX.

Alle guten Vorsätze haben etwas Verhängnisvolles. Sie werden beständig zu früh gefasst.

(Oscar Wilde)

Neujahr bei Pastors

Mama schöpft aus dem Punschgefäße,
Der Vater lüftet das Gesäße
Und spricht: „Jetzt sind es vier Minuten
Nur mehr bis zwölfe, meine Guten.
Ich weiß, dass ihr mit mir empfindet,
Wie dieses alte Jahr entschwindet,
Und dass ihr Gott in seinen Werken
– Mama, den Punsch noch was verstärken! –
Und dass ihr Gott von Herzen danket,
Auch in der Liebe nimmer wanket,
Weil alles, was uns widerfahren
– Mama, nicht mit dem Arrak sparen! –
Weil, was geschah, und was geschehen,
Ob wir es freilich nicht verstehen,
Doch weise war, durch seine Gnade
– Mama, er schmeckt noch immer fade! –
In diesem Sinne meine Guten,
Es sind jetzt bloß mehr zwei Minuten,
In diesem gläubig frommen Sinne
– Gieß noch mal Rum in die Terrine! –
Wir bitten Gott, dass er uns helfe
Auch ferner – Wie? Es schlägt schon zwölfe?
Dann prosit! Prost an allen Tischen!
– Ich will den Punsch mal selber mischen.“

(Ludwig Thoma)

Dass bald das neue Jahr beginnt,
spür ich nicht im geringsten.
Ich merke nur: Die Zeit verrint,
genau so wie zu Pfingsten.

(Joachim Ringelnatz)

.. ist der Titel eines kleinen Buches, dass man sich für 2,50 Euro bei Duden bestellen kann. Eine gute Geldanlage, wie ich meine (habe es gekauft, was man an der Qualität meiner zukünftigen Texte merken wird).

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