Verallgemeinerte Grenzwerte

In diesem Abschnitt lassen wir uns von dem Blog von Terence Tao und Chapitre II, §3 in dem Buch von Stefan Banach [1] unter Nutzung von [1] §36, Aufgabe 4 leiten. Ziel ist es zu untersuchen, ob und wie für beschränkte Folgen ein „verallgemeinerter Grenzwert“gefunden werden kann, der den für beschränkte Folgen üblichen fortsetzt.

Mit dieser Frage hat sich bereits L. Euler beschäftigt, als er der Folge

\displaystyle  	1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , \ldots

den „Grenzwert“ { \frac{1}{2} } zuordnete. Wir wollen nun versuchen, mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banch dieses zu rechtfertigen.

Als erstes wollen wir in Erinnerung rufen, welche Eigenschaften der Limes konvergenter Folgen hat (wie üblich, fassen wir alle konvergenten Folgen in dem Banachraum {c} zusammen).

Sind { x = ( \xi_{j} ) , y = ( \eta_{j} ), e = ( 1 , 1 , \ldots ) \in c} und ist {\alpha \in \textbf{K}}, so ist

  1. {\lim_{j} ( \xi_{j} + \eta_{j} ) = \lim_{j} \xi_{j} + \lim_{j} \eta_{j}} (Additivität)
  2. {\lim_{j} ( \alpha \xi_{j} ) = \alpha \lim_{j} \xi_{j}} (Homogenität).
  3. {\lim_{j} e = 1 . }
  4. Ist { \{ j \colon \xi_{j} \neq \eta_{j} \}} endlich, so ist {\lim_{j} \xi_{j} = \lim_{j} \eta_{j}} (Wir nennen zwei Folgen mit dieser Eigenschaft fast überall (f.ü.) gleich).
  5. Ist { \xi_{j} \geq 0 } für (fast alle) {j \in {\mathbb N}}, so ist {\lim_{j} \xi_{j} \geq 0} (Positivität).
  6. {\lim_{j} ( \xi_{j} \cdot \eta_{j} ) = ( \lim_{j} \xi_{j} ) \cdot ( \lim_{j} \eta_{j} )} (Multiplikativität).
  7. {\lim_{j} \xi_{j} = \lim_{j} \eta_{j + h}} für alle {h \in {\mathbb N}} (Translationsinvarianz).

Betrachten wir auf {c} die Abbildung

\displaystyle  	\varphi \colon c \ni x = ( \xi_{j} ) \mapsto \lim_{j} \xi_{j} \, ,

so kann man nun obiges etwas griffiger formulieren.

  1. {\varphi ( x + y ) = \varphi ( x ) + \varphi ( y )} und {\varphi ( \alpha x = \alpha \varphi ( x )}, d.h. {\varphi} ist ein lineares Funktional auf {c} mit {\varphi ( e ) = 1 . }
  2. Ist { x = y } f.ü., so gilt {\varphi ( x ) = \varphi ( y )}.
  3. Gilt für { ( \xi_{j} )}, dass { \xi_{j} \geq 0 } für (fast alle) {j \in {\mathbb N}} (wir nennen ein {x} positiv), so ist { \varphi ( x ) \geq 0} (d.h. {\varphi} ist ein positives Funktional auf {c}).
  4. {\varphi ( x \cdot y ) =\varphi ( x ) \cdot \varphi ( y )}, d.h. {\varphi} ist ein multiplikatives Funktional.
  5. Ist {S} die Abbildung { ( \xi_{j} ) \mapsto ( \xi_{j + 1} ) } ({S} heißt der Shiftoperator), so gilt { \varphi ( S^{k} x ) = \varphi ( x ) } für alle {k \in {\mathbb N}} , d.h. {\varphi} ist „Shiftinvariant“.

Wir suchen nun ein lineares Funktional {\textsc{Lim}}, das sogar auf {\ell^{\infty}} definiert ist und die obigen Eigenschaften hat.

Was würde dies für das Element {x = ( 1, 0 , 1 , 0, 1 \ldots ) \in \ell^{\infty}} bedeuten? Ist {\xi_{0} = \textsc{Lim} ( \xi_{j} )}, so folgt aus (0)

\displaystyle  	\xi_{0}^{2} = \xi_{0}, \quad \text{also} \quad \xi_{0} = 0 \; \text{ oder } \; \xi_{0} = 1 ,

Andererseits folgt aber aus (0) und der Eigenschaft {\varphi ( e ) = 1}

\displaystyle  	\xi_{0} = 1 - \xi_{0} \quad \text{oder} \quad \xi_{0} = \frac{1}{2}.

Um also einen verallgemeinerten Grenzwert definieren zu können, müssen wir entweder die Eigenschaft (0) oder die Eigenschaft (0) für den neuen Grenzwertbegriff aufgeben.

Multiplikative Linearformen oder der Grenzwertbegriff mit Hilfe von Ultrafiltern

Im Aufgabenblatt 10 hatten wir den Begriff des Filters eingeführt und mit Hilfe des Lemmas von Zorn bzw. des Hausdorffschen Maximalkettensatzes gezeigt, dass ein solcher immer in einem maximalen Filter, einem sogenannten Ultrafilter {\mathfrak{U}} enthalten ist. Mit Hilfe eines freien Ultrafilters sind wir nun in der Lage, einen Grenzwertbegriff für beschränkte Folgen einzuführen, der den Eigenschaften (1) – (4) genügt. Für { x = ( \xi_{j} ) \in \ell^{\infty} } definieren wir

\displaystyle  	\mathfrak{U}-\textsc{Lim} ( \xi_{j} ) := \lim_{\mathfrak{U}} \xi_{j}.

Dann genügt das lineare Funktional {\mathfrak{U}-\textsc{Lim}} den Eigenschaften (1) – (4), wobei der Grenzwert vom (freien) Ultrafilter abhängig ist, wie das obige Beispiel zeigt, d.h. wir bekommen viele verallgemeinerte Grenzwerte.

Aufgabe 1. a) Man führe dies im Detail aus und zeige, dass ein freier Ultrafilter nie Shiftinvariant ist.

b) Sei { x = ( \xi_{j} ) \in \ell^{\infty} } und sei {\mathfrak{U}} ein freier Ultrafilter auf {{\mathbb N}}. Was sind die möglichen {\mathfrak{U}-\textsc{Lim} ( x )} ?

Shiftinvariante Linearformen

Dazu betrachten wir auf dem Banachraum {\ell^{\infty}} die lineare Abbildung {T}, die durch die (unendliche) Matrix { ( a _{ ij} )}

\displaystyle  	a_{ij} := 		\begin{cases} 			\frac{1}{i} 	& 1 \leq j \leq i , \; (i , j \in {\mathbb N} )\\ 			0			& \text{ sonst,}	 		\end{cases}

gegeben ist. Dann ist {T} stetig mit { \| T \| = 1 }.

Lemma 1. Ist { c _{1} := \{ x \in \ell^{\infty} \colon T(x) \in c \} }, so ist {c_{1}} ein abgeschlossener Teilraum von { \ell^{\infty}} der {c} enthält.

Beweis: Ist { x = ( \xi_{j} ) \in \ell^{\infty} }, so ist das {n-}te Glied der Bildfolge {Tx} als

\displaystyle  		\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} \xi_{j} \,

gegeben. Dies entspricht den {n-}ten Cesàro-Mittel der Folge { ( \xi_{j} ) }. Aus der Analysis ist bekannt, dass für eine konvergente Folge die Cesàro-Mittel gegen den gleichen Grenzwert konvergieren (siehe etwa [1], Satz 27.1.

Die Abgeschlossenheit des Teilraums {c_{1}} folgt aus der Banachraumeigenschaft von {c} und der Stetigkeit von {T}. \Box

Lemma 2. Die Abbildung

\displaystyle  	C_{1}-\textsc{Lim} \colon c_{1} \ni x 		= ( \xi_{j} ) \mapsto \lim_{n} \bigg( \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} \xi_{j} \bigg)

ist eine stetige Linearform auf {c_{1}} die den Eigenschaften (1) – (3) und (4) genügt.

Der erste Ansatz für eine Verallgemeinerung wäre es, diesen Prozess fortzusetzen, d.h. wir definieren für {k \in {\mathbb N}} auf

\displaystyle  	c _{k} := \{ x \in c_{k-1} \colon T(x) \in c \}

das stetige Funktional

\displaystyle  	C_{k}-\textsc{Lim} \colon c_{k} \ni x 		= ( \xi_{j} ) \mapsto \lim_{n} \bigg( \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} \xi_{j} \bigg)

Dann ist jedes {c_{k}} abgeschlossen und es ist {c_{k} \varsubsetneq c_{k+1}} .

Wäre nun

\displaystyle  	\ell^{\infty} = \bigcup_{k} c_{k},

so könnten wir eine stetige Linearform auf {\ell^{\infty}} definieren, die die Eigenschaften (1) – (3) und (4) erfüllt und hätten so elegant einen verallgemeinerten Grenzwertbegriff für beschränkte Folgen eingeführt. Aber es ist {\ell^{\infty} \neq \bigcup_{k} c_{k}} und dieser Ansatz muss scheitern.

Aufgabe 2. Man führe alle obigen Schritte im Detail aus und beweise so die im Text gemachten Behauptungen.

Der Satz von Hahn-Banach gibt uns aber ein Hilfsmittel in die Hand, um unser Anliegen erfolgreich abzuschließen.

Satz 3. Es existiert ein lineares Funktional {\; \textsc{Lim} : \ell^{\infty} \rightarrow {\mathbb R}} mit

  1. { \| \textsc{Lim} \| = 1 . }
  2. Für alle {x = ( \xi_{j} )\in c} gilt { \textsc{Lim} ( x ) = \lim_{j} \xi_{j}.}
  3. Für {x = ( \xi_{j} )\in \ell^{\infty}} mit { 0 \leq \xi_{j} } für alle {j \in {\mathbb N}} gilt { \textsc{Lim} ( x ) \geq 0.}
  4. { \textsc{Lim} } ist Shiftinvariant, d.h. { \textsc{Lim} ( S^{k} x ) = \textsc{Lim} (x) } für alle {k \in {\mathbb N}} und {x \in \ell^{\infty}}.
  5. {\liminf_{j} \xi_{j} \leq \textsc{Lim} ( x ) \leq \limsup_{j} \xi_{j}} für alle {x = ( \xi_{j} )\in \ell^{\infty}}.

Beweis: Für {x = ( \xi_{j} ) \in \ell^{\infty} } sei

\displaystyle  	p(x) := \limsup_{j} \frac{1}{n} \big( \xi_{1} + \ldots + \xi_{n} \big).

Dann ist {p} eine Halbnorm auf {\ell^{\infty}}. Ist {c_{1}} und {c-\textsc{Lim}} wie oben, so gilt sicherlich

\displaystyle  	 C-\textsc{Lim} ( x ) \leq p ( x )

für alle {x \in c_{1}} und

\displaystyle  	\|C-\textsc{Lim} \|_{c_{1}} = 1 .

Nach dem Satz von Hahn-Banach können wir {C-\textsc{Lim}} normerhaltend zu einer stetigen Linearform auf {\ell^{\infty}} fortsetzen, die wir mit {\textsc{Lim}} bezeichnen. Damit wären die Eigenschaften (1) und (2) bewiesen.

(3) Sei nun {x = ( \xi_{j} )\in \ell^{\infty}} mit { 0 \leq \xi_{j} } für alle {j \in {\mathbb N}}, aber {\textsc{Lim} ( x ) < 0}. Ersetzen wir {x} durch { x / \| x \|_{\infty} }, können wir {0 \leq \xi_{j} \leq 1 } annehmen, d.h. { \| e - x \|_{\infty} \leq 1} ( {e} der Einheitsvektor in {\ell^{\infty}}). Es ist aber { \textsc{Lim} ( e - x ) = 1 - \textsc{Lim} ( x ) > 1}, woraus { \| \textsc{Lim} \| > 1 } folgt, ein Widerspruch zur Eigenschaft (1).

(4) Für {x = ( \xi_{j} ) \in \ell^{\infty} } und {k \in {\mathbb N}} ist

\displaystyle  	\frac{1}{k} \sum_{j = 2}^{k + 1 } \xi_{j} - \frac{1}{k} \sum_{j = 1}^{k} \xi_{j} = 		\frac{1}{k} ( \xi_{1} - \xi_{k+1}) ,

d.h. { S ( x ) - x \in c_{0} \subseteq c_{1} }. Also

\displaystyle  	\textsc{Lim} ( S ( x ) - x ) = C-\textsc{Lim} ( S ( x ) - x ) = 0 .

Mittels vollständiger Induktion folgt { \textsc{Lim} ( S^{k} ( x ) - x ) = 0 } und somit die Behauptung.

(5) folgt aus [1], Satz 28.6. und der Tatsache, dass für Linearformen {f} aus {f(x) \leq p(x)} (für alle {x}) stets
{ - p ( - x ) \leq f ( x ) } folgt (siehe den Beweisanfang des Satzes von Hahn-Banach). \Box

Korollar 4. Es existiert ein lineares Funktional {\; \textsc{Lim} : \ell^{\infty} \rightarrow {\mathbb C}} mit den Eigenschaften (1) – (4) auf dem komplexen Banachraum {\ell^{\infty}}.

Aufgabe 3. Sei {x = ( \xi_{j} ) \in \ell^{\infty} } . Was sind die möglichen { \textsc{Lim} ( x ) } ?

Anmerkung:

  • Die Folgen {x = (0, 1 , 0 , 1, 0 \ldots ) } und { y = ( 1 , 0 , 1 , 0 , 1 \ldots ) } zeigen, dass im Allgemeinen {\textsc{Lim} ( x \cdot y ) \neq \textsc{Lim} (x) \cdot \textsc{Lim} (y) } ist.
  • Die in Satz (3) konstruierte Linearform nennen man einen Banach-Limes. Dieser ist nicht eindeutig! Im Gegenteil, kann man zeigen, dass die Menge aller Banach-Limites die Mächtigkeit {2^{2^{\aleph_{0}}}} hat, wobei {\aleph_{0} = | {\mathbb N} | } die Mächtigkeit von {{\mathbb N}} bezeichnet.

\lozenge

1. Literatur

  1. S. Banach, Théorie des Opérations Linéaires (Chelsea Publishing)
  2. J. Dieudonné, History of Functional Analysis (North-Holland)
  3. P. Halmos, Naive Mengenlehre (Vandenhoeck)
  4. P. Halmos, Finite Dimensional Vector Spaces (Springer-Verlag)
  5. H. Heuser, Funktionalanalysis (Teubner)
  6. H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1 (Teubner)
  7. J. von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (Springer-Verlag)
  8. W. Rudin, Functinal Analysis (McGraw-Hill)
  9. M. Schechter, Principles of Functional Analysis (AMS)
  10. T. Tao, Ultrafilters, nonstandard analysis, and epsilon management, http://terrytao.wordpress.com/2007/06/25/ultrafilters-nonstandard-analysis-and-epsilon-management/