Warum braucht man das Lebesguesche Integral

An Hand von zwei Beispielen erläutern wir, warum der Lebesguesche Integralbegriff eine echte und wesentliche Erweiterung des Riemannschen Integralbegriffes ist. Das zugehörige PDF-File ist hier erhältlich.

1. Bezeichungen

Im Folgenden bezeichnen wir mit { \mu } das Lebesguesche Maß auf dem Intervall { [ 0 , 1 ] } und mit

\displaystyle  \int f ( s ) \mathrm{d} \mu ( s )

das Lebesguesche Integral einer messbaren Funktion auf { [ 0 , 1 ] }. Unter

\displaystyle  	 \int f ( s ) \mathrm{d} s

verstehen wir immer das Riemannsche Integral (falls es existiert) einer beschränkten Funktion auf { [ 0 , 1 ] }.

Wir nennen zwei Lebesgue integrierbare Funktionen äquivalent, wenn

\displaystyle  	\{ s \in [ 0 , 1 ] \colon f ( s ) \neq g ( s ) \}

eine Nullmenge bezüglich des Lebesgueschen Maßes ist.

Auf dem Intervall { [ 0 , 2 \pi ) } betrachten wir die Funktionen

\displaystyle  	e _{ k } ( s ) := s \mapsto e ^{ i k s } \, , k \in {\mathbb Z} .

Diese Funktionen bilden in dem Hilbertraum { L ^{ 2 } ( 0 , 2 \pi ) } der bezüglich des Lebesgueschen Maßes absolut quadratisch integrierbaren Funktionen ein vollständiges Orthonormalsystem. Ist { f \in L ^{ 2 } ( 0 , 2 \pi ) }, so bezeichnet

\displaystyle  	\widehat{ f } ( k ) := ( f | e_{ k } ) 		= \frac{ 1 }{ 2 \pi } \int f ( s ) e ^{ - i k s } \mathrm{d} \mu ( s )

den { \mathrm{k-ten} } Fourierkoeffizienten von { f } bezüglich dieser Hilbertraumbasis. Ist

\displaystyle  	S _{ n } := \sum _{ | k | \leq n } ( f | e_{ k } ) e _{ k } = 		\sum _{ | k | \leq n } \widehat{ f } ( k ) e _{ k } ,

so konvergiert diese Funktionenfolge stetiger Funktionen in der { L^{2}-}Norm gegen { f }.

Da manche der genutzten Sätze möglicherweise vergessen sind, haben wir diese im Anhang zusammen gestellt.

Als nützlich haben sich für die Ausarbeitung erwiesen:

  • Die Bücher von H. von Mangoldt und K. Knopp zur Analysis (5).
  • Das Buch von A. Zygmund (5) zur Fourieranalysis.
  • Das Buch von I. Natanson (5) zur Theorie reeller Funktionen und dem Lebesgue Integral.

Insbesondere hat das Buch von Zygmund zur Lösung der Fragestellung 3 wesentlich beigetragen. Auch zeigte sich, dass Mangoldt-Knopp eine Goldgrube für mathematische Weisheiten ist.

2. Lebesgue integrierbare Funktionen, die nicht äquivalent zu einer Riemann integrierbaren Funktion sind

In jeder Vorlesung zur Maßtheorie wird als Beispiel für eine Funktion, die im Sinne von Lebesgue integrierbar ist, aber nicht im Sinne von Riemann, die sogenannte Dirichletfunktion angegeben. Diese Funktion hat aber den Nachteil, dass sie äquivalent zur Nullfunktion ist und diese ist bekanntlich Riemann integrierbar.

Daher ist die folgende Frage berechtigt:

Gibt es Lebesgue integrierbare Funktionen auf dem Intervall { [ 0 , 1 ] }, die nicht äquivalent zu einer Riemann integrierbaren Funktion sind? Oder anders ausgedrückt: In deren Äquivalenzklasse in { L ^{ 1 } ( 0 , 1 ) } keine Riemann integrierbare Funktion enthalten ist?

Eine Antwort auf diese Frage gibt der folgende Satz.

Zu { 0 < \varepsilon < 1 } gibt es eine Lebesgue integrierbare Funktion { 0 \leq f_{\varepsilon} } auf dem Intervall { [ 0 , 1 ] } mit

  • { 0 \neq \int _{0}^{1} f_{\varepsilon} ( s ) \mathrm{d} \mu ( s ) \leq \varepsilon } und
  • es gibt keine Riemann integrierbare Funktion auf { [ 0 , 1 ] }, die äquivalent zu { f_{\varepsilon} } ist.

2.1. Konstruktion von { f_{\varepsilon} }

Sei { 0 < \varepsilon < 1 }, { K := \{ r_{k} \colon k \in {\mathbb N} \} } eine Abzählung der rationalen Zahlen im Intervall { [ 0 , 1 ] } und sei { K _{ \varepsilon , j } } für { j \in {\mathbb N} } das offenen Intervall

\displaystyle  	K _{ \varepsilon , j } 		= \big( r _{ i } - \varepsilon \, 2 ^{- j - 1 } , r _{ i } + \varepsilon \, 2 ^{- j - 1 } \big) 				\cap [ 0 , 1 ] \, .

Dann ist

\displaystyle  	B _{ \varepsilon } = \bigcup _{ j = 1 }^{\infty} K _{ \varepsilon , j } .

eine offenen Menge, die wegen { K \subseteq B _{ \varepsilon } } dicht in { [ 0 , 1 ] } ist. Da offenen Mengen messbar bezüglich des Lebesgueschen Maßes sind, ist

\displaystyle  	\mu ( B _{ \varepsilon } ) \leq \varepsilon .

Ist { A_{ \varepsilon } := [ 0 , 1 ] \, \setminus \, B ( \varepsilon ) }, so sei { g _{ \varepsilon } } die charakteristische Funktion von { A_{ \varepsilon } } und { f _{ \varepsilon } := \textbf{1} - g _{ \varepsilon } }. Dann ist

\displaystyle  	0 \leq f _{ \varepsilon } \quad \text{und} \quad 0 \neq \int f _{ \varepsilon } \leq \varepsilon .

Wir nehmen nun an, dass es eine Riemann integrierbare Funktion { h } gibt, die äquivalent zu { f _{ \varepsilon } } ist. Da das Riemannintegral von { h } gleich dem Lebesgueintegral von { h } ist, folgt

\displaystyle  		\int h ( s ) \mathrm{d} ( s ) \leq \varepsilon .

Somit existiert zu { \delta > 0 } mit { ( \varepsilon + \delta ) < 1 } eine Partition

\displaystyle  	0 = t_{0} < t_{1} < \ldots < t_{n-1} < t_{n} = 1 \quad \text{und} \quad 		\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n} \in {\mathbb R}_{+}

und eine Obersumme zu { h } mit

\displaystyle  	\sum _{ k = 1 }^{ n } \alpha_{k} ( t _{ k } - t _{ k - 1 } ) \leq ( \varepsilon + \delta ) < 1 \, .

In jedem der offenen Intervalle { ( t _{ k - 1 } , t _{ k } ) } gibt es rationale Zahlen { r_{j_{k}} } und auf den offenen Mengen

\displaystyle  	K _{ \varepsilon , r_{j_{k}} } \, \cap \, ( t _{ k - 1 } , t _{ k } ) .

ist { f _{ \varepsilon } = 1 }, also muss die äquivalente Funktion { h } auf diesen offenen Teilmenge von { ( t _{ k - 1 } , t _{ k } ) } auch { = 1 } sein.

Hieraus folgt { \alpha _{ k } = 1 } für { k = 1 , \ldots n }, oder

\displaystyle  	1 = \sum _{ k = 1 }^{ n } \alpha_{k} ( t _{ k } - t _{ k - 1 } ) \leq ( \varepsilon + \delta ) < 1 ,

ein Widerspruch.

Anmerkungen:

  • { A_{ \varepsilon } } ist als Komplement einer offenen und dichten Teilmenge von { [ 0 , 1 ] } abgeschlossen und nirgends dicht, und hat das Lebesguesche Maß { \mu ( A_{ \varepsilon } ) \geq 1 - \varepsilon }.
  • Wählt man sich eine Folge { 1 > \epsilon_{k} \rightarrow 0 } und konstruiert die Mengen { A_{ \epsilon_{k}} } wie oben, so erhält man mit
    \displaystyle  		A := \bigcup_{k} A_{ \epsilon_{k} }

    eine Menge von 1. Kategorie (topologisch mager) in { [ 0 , 1 ] } mit { \mu ( A ) = 1 }. Ist { B := [ 0 , 1 ] \, \setminus \, A }, so ist { B } von 2. Kategorie (topologisch fett), aber mit { \mu ( B ) = 0 }, d.h. im Sinne der Maßtheorie \enquote{dünn}.

  • Mit Hilfe der obigen Konstruktion kann man eine Funktion { f } auf dem Intervall { [ 0 , 1 ] } finden, die differenzierbar ist, deren Ableitung aber auf { [ 0 , 1 ] } nicht im Riemannschen Sinne integrierbar ist. Dazu geht man wie folgt vor: Es ist { B _{ \varepsilon } } als offene Teilmenge von { [ 0 , 1 ] } abzählbare Vereinigung paarweise disjunkter offener Intervall { ( \alpha_{k} , \beta _{ k} ) }, { k \in {\mathbb N} } (siehe Anhang 4). Wir definieren nun die Funktion { f } durch
    \displaystyle  			f ( s ) = 0

    auf { A _{ \varepsilon } } und

    \displaystyle  			f ( s ) = ( s - \alpha _{ k } ) ^{ 2 } ( s - \beta _{ k } ) ^{ 2 } 				\sin \bigg( \frac{1}{( s - \alpha _{ k } )( s - \beta _{ k } )( \beta _{ k } - \alpha _{ k } )} 					\bigg)

    für { s \in ( \alpha_{k} , \beta _{ k} )}.

    Dann existiert überall auf { [ 0 , 1 ] } die endliche und beschränkte Ableitung { f ' } von { f }, und die Menge { A _{ \varepsilon } } ist Teilmenge der Unstetigkeitspunkte von { f ' }. Dann kann aber { f ' } nicht Riemann integrierbar sein.

    Dieses Beispiel, das man mit weiteren Folgerungen und Erklärungen bei I. Natanson (5), Kapitel V, § 5 findet, zeigt, dass man mittels des Riemannschen Integrals nicht immer die Stammfunktion rekonstruieren kann.

    Man vergleiche hierzu den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für das Riemannintegral mit dem für das Lebesgueintegral und beachte die Charakterisierung von Funktionen, die sich als unbestimmtes Integral ihrer Ableitung darstellen lassen (etwa in I. Natanson (5), Kapitel IX).

3. Ein Beispiel aus der Fourier Analysis

In (5) stellt E. Stein die folgende Übungsaufgabe (Exercise 6, Chapter 3, p. 89): Sei { ( a _{ k } ) _{ k \in {\mathbb Z} } } die Folge

\displaystyle  	a _{ k } = 	 \begin{cases} 	 	1 / k 	& k \geq 1 , \\ 		0			& k \leq 0 . 	\end{cases}

Dann ist diese Folge ein Element von { \ell ^{ 2 } ( {\mathbb Z} ) }, aber es existiert keine Riemann integrierbare Funktion auf { [ 0 , 2 \pi ) }, die { a_{k} } als { \mathrm{ k }}-ten Fourierkoeffizienten hat. Der Nachweis dieses Sachverhalts benötigt etwas Aufwand, wobei wir die rudimentären Angaben bei A. Zygmund, (5), Chapter I, §3 ausgearbeitet und ergänzt haben.

Lemma 1. Sei { 0 < \varepsilon < \pi }. Dann konvergiert die Funktionenfolge

\displaystyle  	S_{n} = \sum_{ | k | \leq n} \frac{1}{k} e _{ k } \ \ \ \ \ (1)

gleichmäßig auf dem Intervall { [ \varepsilon , 2 \pi - \varepsilon ] }.

Beweis: Zum Beweis nutzen wir die Abelsche partielle Summationsregel (siehe Anhang 4) und setzen

\displaystyle  	a _{ k } = \frac{ 1 }{ k } \, , k \geq 1

und

\displaystyle  	b _{ k } := \sum _{ j = 1 } ^{ k } e_{ j } ( s ) = \sum _{ j = 1 } ^{ k } e ^{ i j s } \ \ \ \ \ (2)

für eine festes, aber beliebiges { s \in [ \varepsilon , 2 \pi - \varepsilon ] }. Dann ist

\displaystyle  	b _{ k } = \sum _{ j = 1 } ^{ k } e ^{ i j s } = e ^{i s } \frac{ 1 - e ^{ i k s }}{ 1 - e ^{i s }} 		= \frac{ e ^{ i s } ( 1 - e ^{ i k s } ) }{ e ^{ i s / 2 }( e ^{ - i s / 2 } - e ^{i s / 2 } )} 		= \frac{ e ^{ i s / 2 } ( 1 - e ^{ i k s } ) }{ 2 i \sin ( s / 2 ) } \, ,

also

\displaystyle  	| b _{ k } | \leq \frac{2 }{ 2 | \sin s / 2 | } \leq \frac{ 1 }{ \sin \varepsilon / 2 } =: \gamma \, .

Nun gilt aber für alle { m < n } unter Benutzung von (9)

\displaystyle  \begin{array}{ll} 	S_{ n } ( s ) - S _{ m } ( s ) & = \sum_{ m+1 }^{ n } a_{k} e_{k} (s) = 			\sum_{ m }^{ n - 1 } a_{k+1} e_{k+1} (s) 		 = \sum _{ m } ^{ n - 1 } a_{ k + 1 } ( b _{ k + 1 } - b _{ k } ) \\ 		& = a_{ n } b _{ n } - a _{ m } b _{ m } - 			\sum _{ k = m } ^{ n - 1 } ( a _{ k + 1 } - a _{ k } ) b _{ k } \\ 		& = a_{ n } b _{ n } - a _{ m } b _{ m } 			+ \sum _{ k = m } ^{ n - 1 }\underbrace{( a _{ k } - a _{ k + 1 } )}_{ \geq 0 } b _{ k } . \end{array}

Aus der Abschätzung (2) erhalten wir somit für alle { s \in [ \varepsilon , 2 \pi - \varepsilon ] }

\displaystyle  \begin{array} {ll} 	| S_{ n } ( s ) - S _{ m } ( s ) | & \leq \gamma \bigg( a _{ n } + a _{ m } 		+ \sum_{ k = m } ^{ n - 1 } ( a _{ k } - a _{ k + 1 } ) \bigg) \\ 		& = \gamma \big( a _{ n } + a_{ m } + a _{ m } - a _{ n } \big) 		= \frac{2 \gamma}{m} . \end{array}

Somit konvergiert die Funktionenfolge gleichmäßig wie behauptet. \Box

Aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt die punktweise Konvergenz für jedes { s \in ( 0 , 2 \pi ) }, d.h.

\displaystyle  		f ( s ) = \sum _{ k = 1 } ^{ \infty } \frac{ 1 }{ k } e ^{i k s} \, .

Wir setzen für ein festes, aber beliebiges { s \in ( 0 , 2 \pi ) } und { k \in {\mathbb N} }

\displaystyle  		c _{ k } := \frac{ 1 }{ k } e ^{i k s} \,.

Wegen { | c _{ k } | \leq 1 } existiert für alle { x } mit { | x | < 1 } die Potenzreihe

\displaystyle  		G ( x ) = \sum _{ k = 1 } ^{ \infty } c _{ k } x ^{ k }

und wegen

\displaystyle  		G ( 1 ) = \sum _{ k = 1 } ^{ \infty } c _{ k } 			= \sum _{ k = 1 } ^{ \infty } \frac{ 1 }{ k } e ^{i k s} 			= f ( s )

ist { G } nach dem Abelschen Grenzwertsatz (siehe Anhang 4) stetig in { 1 } mit

\displaystyle  	G ( 1 ) = \lim_{ { x \rightarrow 1 } \atop { x < 1 } } G ( x ) . \ \ \ \ \ (3)

Weiterhin ist { G ( 0 ) = 0 } und { G } ist auf dem offenen Intervall { ( -1 , 1 ) } beliebig oft stetig differenzierbar mit

\displaystyle  	G ' ( x ) = \sum _{ k = 1 } ^{ \infty } k c _{ k } x ^{ k - 1 } 			= \sum _{ k = 1 } ^{ \infty } k \frac{ 1 }{ k } e ^{i k s} x ^{ k - 1 } 			= \sum _{ k = 1 } ^{ \infty } e ^{i k s } x^{ k - 1 } 			= e^{ is } \sum _{ k = 1 } ^{ \infty } ( e ^{i s } x )^{ k - 1 }\, . \ \ \ \ \ (4)

Für die Summe in (4) folgt damit

\displaystyle  \begin{array} {ll} 	G ' ( x ) & = \frac{ e ^{ i s }}{ 1 - e ^{ i s } \cdot x } 			 = \frac{ e ^{ i s } ( 1 - e ^{- i s } \cdot x ) }{ | 1 - e ^{ i s } \cdot x | ^{2 }} 			 = \frac{ e ^{ i s } - x}{ 1 - 2 \cos s \cdot x + x ^{ 2 }} \\ 			& = 		\underbrace{\bigg( \frac{ \cos s - x}{ 1 - 2 \cos s \cdot x + x ^{ 2 } }\bigg)}_{ := G_{1} ( x ) } 			+ i \, \underbrace{ \bigg( \frac{ \sin s }{ 1 - 2 \cos s \cdot x 			+ x ^{ 2 } } \bigg) }_{ := G _{2} ( x ) } \, . \end{array}

Wegen der Stetigkeit der Ableitung können wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden und erhalten für { 0 < r < 1 }

\displaystyle  	G ( r ) = \int _{ 0 } ^{ r } G ' ( x ) \mathrm{d} x 		= \int _{ 0 } ^{ r } G _{ 1 } ( x ) \mathrm{d} x 			+ i \int _{ 0 } ^{ r } G _{ 2 } ( x ) \mathrm{d} x . \ \ \ \ \ (5)

3.1. Berechnung von { \int G_{1} } :

Es ist

\displaystyle  \frac{ \cos s - x}{ 1 - 2 \cos s \cdot x + x ^{ 2 } } 	= - \frac{1}{2} \bigg( \frac{ 2x - \cos s }{ 1 - 2 \cos s \cdot x + x ^{ 2 } } \bigg) \, ,

also

\displaystyle  	\int_{0}^{r} G_{1} ( x ) \mathrm{d} x = - \frac{1}{2} \ln ( 1 - 2 \cos s \cdot r + r ^{ 2 } )

(wegen { \ln 1 = 0 }).

3.2. Berechnung von { \int G_{2} } :

Wir formen zunächst den Nenner um:

\displaystyle  \begin{array} {ll} 	1 - 2 \cos s \cdot x + x ^{ 2 } & = 1 - 2 \cos s \cdot x + \cos ^{ 2 } s \cdot x ^{ 2 } 	 										+ \sin ^{ 2 } s \cdot x ^{ 2 } \\	 			& = \sin ^{ 2 } s \cdot x ^{ 2 } + \big( 1 + \cos s \cdot x )^{ 2 } \\ 			& = 	\bigg( 1 - \cos s \cdot x \bigg)^{2} 				\bigg ( 1 + 	\bigg( \frac{ \sin s \cdot x }{ 1 - \cos s \cdot x } \bigg)^{ 2 } \bigg) \end{array}

und setzen dann

\displaystyle  		u ( x ) = \frac{ \sin s \cdot x }{ 1 - \cos s \cdot x } \, .

Dann ist

\displaystyle  	 \frac{ \mathrm{d}}{ \mathrm{d} x } u ( x ) = \frac{ \sin s }{ ( 1 - \cos s \cdot x ) ^{ 2 }} \, .

Das Integral kann man also schreiben als

\displaystyle  	\int G_{2} ( x ) \mathrm{d} x 		= \int \frac{ \sin s \, \mathrm{ d } x }{ ( 1 - \cos s \cdot x ) ^{ 2 }} 			\cdot \frac{ 1 }{ 1 + u ^{ 2 } } = \int \frac{ \mathrm{d}u }{ 1 + u^{2}} 			= \arctan ( u ) \, .

oder

\displaystyle  	\int_{0}^{r} G_{2} ( x ) \mathrm{d} x 		= \arctan \bigg( \frac{ \sin s \cdot r }{ 1 - \cos s \cdot r } \bigg)

(man beachte, dass { \arctan ( 0 ) = 0 } ist).

Unter Berücksichtigung von { G ( 1 ) = \int _{ 0 } ^{ 1 } G ' ( x ) \mathrm{d}x } und (3) folgt hieraus insgesamt

\displaystyle  	f ( s ) = - \frac{1}{2} \ln ( 2 - 2 \cos s ) + i \arctan \frac{ \sin s }{ 1 - \cos s } \, . \ \ \ \ \ (6)

Wir wenden nun die Additionstheoreme für die Sinus- bzw. Cosinusfunktion an. Als erstes folgt

\displaystyle  		1 - \cos s = 2 \sin ^{ 2 } ( s / 2 ) \, ,

also

\displaystyle  	- \frac{1}{2} \ln ( 2 - 2 \cos s ) = - \frac{1}{2} \ln ( 4 \sin^{2} ( s / 2 ) ) 			= - \ln \, ( 2 \sin ( s / 2 ) ) \, .

Aus

\displaystyle  	\sin (2 s ) = \sin s \cos s

und

\displaystyle  	\sin ( \pi/2 - s ) = \cos s \quad , \quad \cos ( \pi/2 - s ) = \sin s

folgt

\displaystyle  	\frac{ \sin s }{ 1 - \cos s } = \frac{ 2 \sin ( s / 2 ) \cos ( s /2 )}{ 2 \sin ^{ 2 } ( s / 2 ) } 		= \frac{ \cos s / 2 }{ \sin s / 2 } = \frac{ \sin ( ( \pi - s ) / 2 ) }{ \cos ( ( \pi - s ) / 2 )} 		= \tan ( \pi - s ) / 2 ,

d.h.

\displaystyle  	\arctan \frac{ \sin s }{ 1 - \cos s } = \frac{ \pi - s }{ 2 } \, .

Damit erhalten wir für alle { s \in ( 0 , 2 \pi ) } die Darstellung

Satz 2.

\displaystyle  	f ( s ) = - \ln ( 2 \, \sin \frac{s}{2} ) + i \bigg( \frac{ \pi - s }{ 2 }\bigg)

Bekanntlich bestimmen für { f \in L^{2} } die Fourierkoeffizienten diese Funktionen eindeutig. Gäbe es nun eine Riemann integrierbare Funktion mit den gleichen Fourierkoeffizienten wie { f }, so müsste diese Funktion nach den obigen Überlegungen punktweise auf dem Intervall { ( 0 , 2 \pi ) } mit { f } übereinstimmen.

Da der Imaginärteil von { f } Riemann integrierbar ist, folgt hieraus, dass dieses auch für den Realteil gelten müsste. Dieser ist aber unbeschränkt und damit nicht Riemann integrierbar.

Anmerkungen:

  • Betrachtet man anstelle des Hilbertraums { L^{2} ( \left[ 0 , 2 \pi \right ) } den normierten Teilraum
    \displaystyle \mathcal{R} := \mathcal{R}({\left[0,2\pi\right),\mathrm{d}s}),

    so ist { \mathcal{R} } nicht vollständig, d.h. nur ein Prähilbertraum. Um dieses zu zeigen, betrachten wir die Funktion

    \displaystyle  		f(t) = 			\begin{cases} 				0					& t = 0 ;				\\ 				\log(\frac{1}{t})	& 0 < t \leq 2 \pi. 			\end{cases} 		\ \ \ \ \ (7)

    Diese Funktion ist nicht beschränkt und kann daher nicht zu {\mathcal{R}} gehören. Wir definieren nun die Folge {f_{n}} der „abgeschnittenen“ Funktionen

    \displaystyle  			f_{n}(t) = 			\begin{cases} 				0				& 0 \leq t \leq 1/n ;				\\ 				f(t)		& 1/n < t \leq 2 \pi. 			\end{cases} 		\ \ \ \ \ (8)

    Dann ist dies eine Cauchyfolge in {\mathcal{R}}. Diese Folge kann aber nicht gegen ein Element aus {\mathcal{R}} konvergieren, da der Grenzwert, wenn er existieren würde, gleich der Funktion {f} sein müsste.

  • C. Carathéodory (5) gibt eine Charakterisierung der { \ell^{2}}-Folgen, die Fourierkoeffizienten von Riemann integrierbaren Funktionen sein können.

4. Anhang

4.1. Offene Mengen als Vereinigung disjunkter Intervalle

Sei { O } eine offenen Menge in dem Intervall { [ 0 , 1 ] }. Dann existiert eine höchstens abzählbare Folge paarweiser disjunkter offener Intervalle, deren Vereinigung { O } ist. Beweis: Für { s \in O } sei { \mathcal{J}_{ s } } die Familie aller offenen Intervalle { s \in I \subseteq O } und sei { J_{ s } := \bigcup \{ J \colon J \in \mathcal{J}_{ s } \} }. Da { s \in J_{ s } }, muss { J_{ s } } ein offenes Intervall sein.

Um dieses zu sehen, sei { a := \inf \{ t \colon t \in J_{ x }, t \leq s \} } und { b := \inf \{ t \colon t \in J_{ x }, s \leq t \} }. Dann ist { ( a , b ) = J_{ s } }.

Sind nun { s , t \in O }, so gilt entweder { J_{ s } = J_{ t } } oder { J_{ s } \cap J_{ t } = \emptyset }, da sonst { J_{ s } \cup J_{ t } } offen aber größer als etwa { J_{ s } } wäre. Daher sind die (verschiedenen) Mengen in {\mathcal{J} = \{ \mathcal{J}_{ s } \colon s \in O \} } paarweise disjunkte, offene Intervalle. Für jedes { J \in \mathcal{J} } sei { f ( J ) } eine rationale Zahl in { \mathcal{J} }. Wegen { J \cap J ' = \emptyset } ist die Abbildung { f \colon \mathcal{J} \rightarrow {\mathbb Q} } injektiv, d.h. { \mathcal{J} } ist abzählbar. \Box

4.2. Abelsche partielle Summationsregel

Sind { ( a _{ k } )_{ k \geq 0} } und { ( b _{ k } )_{ k \geq 0} } Folgen (komplexer) Zahlen, so gilt für alle { n \in {\mathbb N} }

\displaystyle  	\sum _{ k = 0 } ^{ n - 1} a _{ k + 1 } ( b _{ k + 1 } - b _{ k } ) = 		a _{ n } b _{ n } - a _{ 0 } b _{ 0 } 		- \sum _{ k = 0 } ^{ n - 1} ( a _{ k + 1 } - a _{ k } ) b _{ k } \, . \ \ \ \ \ (9)

Existiert

\displaystyle  	a _{ \infty } = \lim_{k} a_{k} \quad \text{und} \quad b _{ \infty } = \lim_{k} b_{k} \, ,

so gilt

\displaystyle  	\sum _{ k = 1 } ^{ \infty } a _{ k + 1 }( b _{ k + 1 } - b _{ k } ) = 		a _{ \infty } b _{ \infty } - a _{ 0 } b _{ 0 } 		- \sum _{ k = 1 } ^{ \infty } ( a _{ k + 1 } - a _{ k } ) b _{ k } \, . \ \ \ \ \ (10)

Man kann sich dieses mittels der Regel für die partielle Integration einfach merken:

\displaystyle  	\int _{ 1 }^{ \infty } u v' = uv \big|_{1}^{\infty} - \int _{ 1 } ^{ \infty } u' v

4.3. Abelscher Grenzwertsatz

Hat die Potenzreihe

\displaystyle  	\sum_{j = 0 }^{ \infty } c_{j} x ^{j}

den endlichen positiven Konvergenzradius { r } und ist sie noch für { x = r } konvergent, so ist die durch die Potenzreihe in { - r < x \leq r } definierte Funktion { f ( x ) } in { r } noch linksseitig stetig. Es ist also dann der Grenzwert

\displaystyle  	\lim _{ \substack{ x \rightarrow r \\ 0 < x < r } } f ( x ) \quad \text{oder} \quad 			\lim _{ \substack{ x \rightarrow r \\ 0 < x < r } } \sum_{j = 0 }^{ \infty } c_{j} x ^{j}

vorhanden und stimmt mit

\displaystyle  	f ( r ) = \sum_{j = 0 }^{ \infty } c_{j} r ^{j}

überein. Der Beweis verwendet (10), wobei wir bei { k = 0 } starten.

Beweisskizze: O.b.d.A. können wir { r = 1 } setzen. Sei

\displaystyle  		a = \sum_{ 0 }^{ \infty } c_{ j } \quad \text{und} \quad 		a _{ k } = \sum_{ 0 }^{ k - 1 } c_{ j } - a

Dann ist

\displaystyle  	 \lim_{k} a_{ k } = 0 \, , \quad a_{ k + 1 } - a_{ k } = c_{ k + 1 } 	 	\quad \text{und} \quad a_{ 0 } = - a \, .

Also ist für jedes { 0 < x < 1 }

\displaystyle  \begin{array} {ll} 	\sum_{ 0 }^{ \infty } c_{ k } x^{ k } &= \sum_{ 0 }^{ \infty } ( a_{ k + 1 } - a_{ k } ) x^{ k } \\ 		& = ( \lim_{k} a_{k}) ( \lim_{k}x^{k} ) - a_{ 0 }x^{ 0 } 				- \sum_{ 0 }^{ \infty } a_{ k + 1 } ( x^{ k + 1 } - x^{ k } ) \\ 		& = a + \underbrace{\sum_{ 0 }^{ \infty } a_{ k + 1 } ( x^{ k } - x^{ k + 1 } )}_{( \star )} . \end{array}

Zu zeigen ist daher, dass die Summe { ( \star ) } gegen { 0 } konvergiert. Es ist aber

\displaystyle  \begin{array} {ll} 	| \sum_{ 0 }^{ \infty } a_{ k + 1 } ( x^{ k + 1 } - x^{ k } ) | 		& \leq \sum_{ 0 }^{ \infty } | a_{ k + 1 } | | x^{ k + 1 } - x^{ k } | 	\\ 		& = \sum_{ 0 }^{ \infty } | a_{ k + 1 } | ( x^{ k } - x^{ k + 1 } )		\\ 		& = \sum_{ 0 }^{ n_{0} } | a_{ k + 1 } | ( x^{ k } - x^{ k + 1 } ) 				+ \sum_{ n_{0} + 1 }^{ \infty } | a_{ k + 1 } | ( x^{ k } - x^{ k + 1 } ) \, . \end{array}

Da die Reihe der { a_{ k } } konvergiert, gibt es { n_{ 0 } }, so dass { | a _{ n } | \leq \varepsilon } für alle { n > n_{ 0 } }. Daraus erhalten wir für die obige Summe

\displaystyle  	\leq \sum_{ 0 }^{ n_{0} } | a_{ k + 1 } | ( x^{ k } - x^{ k + 1 } ) 			+ \varepsilon \sum_{ n_{0} + 1 }^{ \infty } ( x^{ k } - x^{ k + 1 } ) 			= \sum_{ 0 }^{ n_{0} } | a_{ k + 1 } | ( x^{ k } - x^{ k + 1 } ) + \varepsilon x^{ n_{0} + 1}

(die letzte Summe ist eine Teleskopsumme mit { x^{k} \rightarrow 0 }).

Lassen wir nun { x \rightarrow 1 } konvergieren, so konvergiert der erste Summand gegen { 0 } und wir erhalten insgesamt

\displaystyle  	\limsup_{ x \rightarrow 1 } | \sum_{ 0 }^{ \infty } a_{ k + 1 } ( x^{ k + 1 } - x^{ k } ) | 			\leq \varepsilon \,.

Da { \varepsilon } beliebig war, folgt die Behauptung.

4.4. Die Additionstheoreme

Wir fassen hier die Additionstheorem zusammen.

\displaystyle  \begin{array} {ll} 	\cos ( \alpha - \beta ) 	& = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \\ 	\sin ( \alpha - \beta ) 	& = \sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \sin \alpha \\ 	\\ 	\cos ( \alpha + \beta ) 	& = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ 	\sin ( \alpha + \beta ) 	& = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \sin \alpha \\ 	\\ 	\cos ( 2 \alpha ) 		& = \cos ^{ 2 } \alpha - \sin ^{ 2 } \alpha = 1 - 2 \sin ^{ 2 } \alpha \\ 	\sin ( 2 \alpha ) 		& = 2 \sin \alpha \cos \alpha \\ 	\\ 	\sin ( \pi/2 - \alpha ) & = \cos \alpha \\ 	\cos ( \pi/2 - \alpha ) & = \sin \alpha	 \end{array}

Dabei kann man sich die ersten beiden Formeln, aus denen sich der Rest ergibt, einfach merken: Sind { x } und { y } die Vektoren

\displaystyle  	x = \left( \cos \alpha \\ , \sin \alpha \right) 	\quad 	y = \left( \cos \beta \\ , \sin \beta \right) \, ,

so ist

\displaystyle  	\cos ( \alpha - \beta ) = ( x | y ) \, , \text{ das Sklarprodukt}

und

\displaystyle  	\sin ( \alpha - \beta ) = x \, \times \, y \, , \text{ das Kreuzprodukt}

von { x } und { y }. Letzteres kann man als Determinante der Matrix

\displaystyle  	\left( 		 \begin{array} {ll} 			\cos \alpha & \cos \beta \\ 			\sin \alpha & \sin \beta 		\end{array} 	\right)

erhalten, wenn man diese nach der letzten Zeile entwickelt.

Diese Identitäten können mit verschiedenen Methoden bewiesen werden:

  1. Mittels der Eulerschen Formel {e^{i \alpha} = \cos ( \alpha ) + i \sin ( \alpha ),}
  2. Analytisch unter Berücksichtigung der Definition des Sinus bzw. Kosinus eines Winkels (siehe hierzu etwa M. Spivak, (5), Chapter 15, Theorem 4 und Theorem 5.,
  3. Geometrisch unter Ausnutzung der Beziehungen zwischen Winkel und Strecken im Einheitskreis (siehe hierzu die Abbildung).

5. Literatur

  1. C. Carathéodory, Über die Fourierschen Koeffizienten der nach Riemann integrierbaren Funktionen, Math.Z. 36, 309 – 320 (1918)
  2. G. Folland, Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications (John Wiley & Sons, Inc., 1999)
  3. H. Mangoldt; K. Knopp, Einführung in die Höhere Mathematik, I – III (S.Hirzel Verlag, 1967)
  4. I. Natanson, Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen (Akademie Verlag, 1961)
  5. M. Spivak, Calculus, (W.A. Benjamin, 1967)
  6. E. Stein, Fourier Analysis, (Princeton Lectures in Analysis, 2004)
  7. A. Zygmund, Trigonometric Series(Cambridge University Press, 1971)

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